Calcule os limites e identifique as descontinuidades em cada caso.
\lim _{t \rightarrow 1}\left[\frac{t^{2}-1}{t-1} i+\operatorname{sen}(t+2) j-k\right].

Passo 1

O enunciado pede o limite da função vetorial
\mathbf{r}(t)=\frac{t^{2}-1}{t-1}\,\mathbf{i}+\operatorname{sen}(t+2)\,\mathbf{j}-\mathbf{k}
quando t\to1, e quer que a gente identifique as possíveis descontinuidades. O conteúdo é cálculo de limites de funções vetoriais e continuidade.

Passo 2

Analisamos a componente em \mathbf{i}:
\frac{t^{2}-1}{t-1}=\frac{(t-1)(t+1)}{t-1}=t+1 \quad\text{para }t\neq1.
Como t+1 é contínua,
\lim_{t\to1}\frac{t^{2}-1}{t-1}=1+1=2.

Passo 3

A componente em \mathbf{j} é \operatorname{sen}(t+2). Como a função seno é contínua em todo lugar,
\lim_{t\to1}\operatorname{sen}(t+2)=\operatorname{sen}(1+2)=\operatorname{sen}(3).

Passo 4

A componente em \mathbf{k} é constante igual a -1, logo
\lim_{t\to1}(-1)=-1.

Passo 5

Juntando as três componentes, obtemos
\lim_{t\to1}\mathbf{r}(t) =2\,\mathbf{i}+\operatorname{sen}(3)\,\mathbf{j}-\mathbf{k}.

Passo 6

Quanto às descontinuidades, a componente em \mathbf{i} não está definida em t=1 (divisão por zero), mas seu limite existe e é 2. As outras componentes são contínuas em t=1. Portanto, \mathbf{r}(t) tem uma descontinuidade removível em t=1.

Resposta

\lim_{t\to1}\biggl[\frac{t^{2}-1}{t-1}\,\mathbf{i}+\operatorname{sen}(t+2)\,\mathbf{j}-\mathbf{k}\biggr] =2\,\mathbf{i}+\operatorname{sen}(3)\,\mathbf{j}-\mathbf{k},
e há uma descontinuidade removível em t=1.

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