Calcule os limites indeterminados abaixo, destacando o tipo de indeterminação.
lim x 3 x^3+x^2-9 x-9x^2-5 x+6

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto3x^3+x^2-9x-9x^2-5x+6
identificando o tipo de indeterminação. O conteúdo aqui é cálculo de limites de funções racionais, usando fatoração e simplificação para resolver indeterminações do tipo 0/0.

Passo 2

Avaliaremos numerador e denominador em x=3:
numerador = 3^3+3^2-9cdot3-9 = 27+9-27-9 = 0,
denominador = 3^2-5cdot3+6 = 9-15+6 = 0
Logo temos uma indeterminação do tipo 0/0.

Passo 3

Para eliminar a indeterminação, fatoramos numerador e denominador:
x^3+x^2-9x-9 = x^2(x+1)-9(x+1) = (x+1)(x^2-9) = (x+1)(x-3)(x+3),
x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)

Passo 4

Simplificamos cancelando o fator (x-3) comum, válido para xneq3:
x^3+x^2-9x-9x^2-5x+6 = (x+1)(x-3)(x+3)(x-2)(x-3) = (x+1)(x+3)x-2

Passo 5

Agora calculamos o limite pela substituição direta em (x+1)(x+3)x-2:
limxto3(x+1)(x+3)x-2 = (3+1)(3+3)3-2 = 4cdot61 =24

Resposta

O limite é 24 e trata-se de uma indeterminação do tipo 0/0.

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