Explique por que as funções abaixo são diferenciáveis:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para explicar por que a função $ f(x, y) = e{x{2} + y^{2}} $ é diferenciável. Estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente com o conceito de diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas parciais e condições que garantem que uma função seja diferenciável.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável. Em termos simples, uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto se ela pode ser bem aproximada por um plano linear perto desse ponto. Isso está ligado às derivadas parciais da função em relação a cada variável.
Passo 3
Para verificar a diferenciabilidade, precisamos primeiro calcular as derivadas parciais de $ f(x, y) = e{x{2} + y^{2}} $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
E a derivada parcial em relação a $ y $ é:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais, precisamos verificar se elas são contínuas em todo o domínio da função. Se as derivadas parciais são contínuas, isso garante que a função $ f $ é diferenciável.
Passo 5
Observando as derivadas $ f_x(x, y) = 2x e{x{2} + y^{2}} $ e $ f_y(x, y) = 2y e{x{2} + y^{2}} $, vemos que ambas são combinações de funções polinomiais e exponenciais, que são contínuas em todo o
. Não há pontos de descontinuidade nessas derivadas.
Passo 6
Como as derivadas parciais $ f_x $ e $ f_y $ são contínuas em todo o plano, podemos concluir, de acordo com os teoremas de cálculo multivariável, que a função $ f(x, y) = e{x{2} + y^{2}} $ é diferenciável em todo ponto
.
Resposta
Portanto, a função $ f(x, y) = e{x{2} + y^{2}} $ é diferenciável porque suas derivadas parciais existem e são contínuas em todo o seu domínio.