Calcule os limites indicados abaixo.
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{8 x^{4}+8 x+4}{2 x^{4}+100 x^{2}+3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{8x^{4}+8x+4}{2x^{4}+100x^{2}+3}.
O conteúdo é “limites no infinito de funções racionais” e a ideia é comparar os termos de maior grau no numerador e denominador.

Passo 2

A gente divide numerador e denominador por x^{4}, que é a maior potência de x:
\frac{8x^{4}+8x+4}{2x^{4}+100x^{2}+3} = \frac{x^{4}\bigl(8 + \tfrac{8}{x^{3}} + \tfrac{4}{x^{4}}\bigr)}{x^{4}\bigl(2 + \tfrac{100}{x^{2}} + \tfrac{3}{x^{4}}\bigr)} = \frac{8 + 8x^{-3} + 4x^{-4}}{2 + 100x^{-2} + 3x^{-4}}.

Passo 3

Quando x\to+\infty, os termos x^{-k} tendem a zero. Logo, no numerador sobra 8 e no denominador sobra 2:
\lim_{x\to+\infty}\bigl(8 + 8x^{-3} + 4x^{-4}\bigr)=8, \qquad \lim_{x\to+\infty}\bigl(2 + 100x^{-2} + 3x^{-4}\bigr)=2.

Passo 4

Portanto, o limite fica
\frac{8}{2}=4.

Resposta

4

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