Considere a função definida por:
f(x)= \begin{cases}2 x+2 & \text { se } x<2 \\\ x^{2}+4 & \text { se } 2 \leq x \leq 4 \\\\ 20 & \text { se } x>4\end{cases}
f é contínua em x=2 ? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases} 2x+2,& x<2,\\\ x^{2}+4,& 2\le x\le4,\\\\ 20,& x>4. \end{cases}
Queremos verificar se f é contínua em x=2. Para isso, precisamos checar se
\lim_{x\to2^-}f(x)=\lim_{x\to2^+}f(x)=f(2).

Passo 2

Calculamos o valor de f em x=2. Como 2 pertence ao intervalo 2\le x\le4, usamos o segundo ramo:
f(2)=2^{2}+4=4+4=8.

Passo 3

Calculamos o limite pela esquerda, isto é, para x<2 usamos f(x)=2x+2:
\lim_{x\to2^-}f(x)=\lim_{x\to2^-}(2x+2)=2\cdot2+2=6.

Passo 4

Calculamos o limite pela direita, para x>2 mas tendendo a 2, usamos f(x)=x^{2}+4:
\lim_{x\to2^+}f(x)=\lim_{x\to2^+}(x^{2}+4)=2^{2}+4=8.

Passo 5

Comparando os três valores:
\lim_{x\to2^-}f(x)=6,\quad \lim_{x\to2^+}f(x)=8,\quad f(2)=8.
Como \lim_{x\to2^-}f(x)\neq\lim_{x\to2^+}f(x), a função não satisfaz a condição de continuidade em x=2.

Resposta

f não é contínua em x=2.

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