Considere a função definida por:
f(x)= \begin{cases}2 x+2 & \text { se } x<2 \\\ x^{2}+4 & \text { se } 2 \leq x \leq 4 \\\\ 20 & \text { se } x>4\end{cases}
f é contínua em x=4 ? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a função por partes e pede para verificar continuidade em x=4. Para isso, usamos a definição: f é contínua em x=4 se e somente se
\lim_{x\to4^-}f(x)=\lim_{x\to4^+}f(x)=f(4).

Passo 2

Calcular f(4). Como para 2\le x\le4 vale
f(x)=x^2+4,
temos
f(4)=4^2+4=16+4=20.

Passo 3

Calcular o limite pela esquerda. Para x<4 próximos de 4 também usamos f(x)=x^2+4, então
\lim_{x\to4^-}f(x) =\lim_{x\to4^-}(x^2+4) =4^2+4 =20.

Passo 4

Calcular o limite pela direita. Para x>4 vale f(x)=20, logo
\lim_{x\to4^+}f(x)=20.

Resposta

Sim. A função é contínua em x=4, pois
\lim_{x\to4^-}f(x)=\lim_{x\to4^+}f(x)=f(4)=20.

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