Estude o sinal das funções.
.
Passo 1
O enunciado dá a função polinomial
e pede que eu estude o sinal dessa função. Ou seja, preciso responder:
- Para quais valores de
vale ? - Para quais valores de
vale ? - Para quais valores de
vale ?
Informações relevantes dadas:
- Coeficientes do polinômio: coeficiente de
é , coeficiente de é , termo constante é .
Passo 2
Primeiro passo prático: encontrar as raízes (zeros) da função, pois elas dividem a reta real em intervalos onde o sinal da função é constante. Vou procurar números
e
tais que
Procuramos dois números cujo produto seja
(o termo independente) e cuja soma seja
(o oposto do coeficiente de
, já que o polinômio é
). Os candidatos rápidos para produto
são
e
; eles têm soma
. Portanto as raízes são
e
.
Como alternativa (para casos que não fatoram tão fácil) poderia usar a fórmula quadrática: calcular o discriminante
que dá
e
. Isso confirma.
Passo 3
Com as raízes encontradas, escrevo a fatoração explícita:
Explicação rápida: ao expandir
obtém-se
, então a fatoração está correta.
Passo 4
Agora uso a fatoração para estudar o sinal. Cada fator
e
muda de sinal apenas em
e
, respectivamente. Assim, os pontos críticos que dividem a reta são
e
. Consigo então analisar o sinal em cada intervalo formado por esses pontos:
- Intervalo
- Intervalo
- Intervalo
Vou determinar o sinal de cada fator em cada intervalo e o produto.
Passo 5
Análise de sinais por intervalo (pode-se também testar um número de cada intervalo):
- Para
(por exemplo ):
-
porque . -
porque .
Produto:(negativo vezes negativo é positivo). Logo em .
- Para
(por exemplo ):
-
porque . -
porque .
Produto:(positivo vezes negativo é negativo). Logo em .
- Para
(por exemplo ):
-
porque . -
porque .
Produto:(positivo vezes positivo é positivo). Logo em .
Além disso, em
e
temos
, então
e
.
Observação didática: como o coeficiente de
é
, a parábola abre para cima, o que significa que a função é positiva para
muito à esquerda e muito à direita, e pode ser negativa entre as raízes (caso elas existam e sejam distintas), exatamente o que vimos aqui.
Passo 6
Verificação numérica rápida para fixar a ideia:
-
(confirma ). -
(confirma ). -
(confirma ).