Estude o sinal das funções.
f(x)=x^{2}-5 x+4.

Passo 1

O enunciado dá a função polinomial f(x)=x^{2}-5x+4 e pede que eu estude o sinal dessa função. Ou seja, preciso responder:
  • Para quais valores de x vale f(x)>0?
  • Para quais valores de x vale f(x)=0?
  • Para quais valores de x vale f(x)<0?
Informações relevantes dadas:
  • Coeficientes do polinômio: coeficiente de x^{2} é 1, coeficiente de x é -5, termo constante é 4.

Passo 2

Primeiro passo prático: encontrar as raízes (zeros) da função, pois elas dividem a reta real em intervalos onde o sinal da função é constante. Vou procurar números r_{1} e r_{2} tais que
f(x)=(x-r_{1})(x-r_{2}).
Procuramos dois números cujo produto seja 4 (o termo independente) e cuja soma seja 5 (o oposto do coeficiente de x, já que o polinômio é x^{2}-5x+4). Os candidatos rápidos para produto 4 são 1 e 4; eles têm soma 1+4=5. Portanto as raízes são 1 e 4.
Como alternativa (para casos que não fatoram tão fácil) poderia usar a fórmula quadrática: calcular o discriminante
\Delta = b^{2}-4ac = (-5)^{2}-4\cdot1\cdot4 = 25-16=9,
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5\pm3}{2},
que dá x=1 e x=4. Isso confirma.

Passo 3

Com as raízes encontradas, escrevo a fatoração explícita:
f(x)=x^{2}-5x+4=(x-1)(x-4).
Explicação rápida: ao expandir (x-1)(x-4) obtém-se x^{2}-4x-x+4=x^{2}-5x+4, então a fatoração está correta.

Passo 4

Agora uso a fatoração para estudar o sinal. Cada fator (x-1) e (x-4) muda de sinal apenas em x=1 e x=4, respectivamente. Assim, os pontos críticos que dividem a reta são 1 e 4. Consigo então analisar o sinal em cada intervalo formado por esses pontos:
  • Intervalo (-\infty,1)
  • Intervalo (1,4)
  • Intervalo (4,\infty)
Vou determinar o sinal de cada fator em cada intervalo e o produto.

Passo 5

Análise de sinais por intervalo (pode-se também testar um número de cada intervalo):
  1. Para x<1 (por exemplo x=0):
  • (x-1)<0 porque 0-1=-1<0.
  • (x-4)<0 porque 0-4=-4<0.
    Produto: (x-1)(x-4)>0 (negativo vezes negativo é positivo). Logo f(x)>0 em (-\infty,1).
  1. Para 1<x<4 (por exemplo x=2):
  • (x-1)>0 porque 2-1=1>0.
  • (x-4)<0 porque 2-4=-2<0.
    Produto: (x-1)(x-4)<0 (positivo vezes negativo é negativo). Logo f(x)<0 em (1,4).
  1. Para x>4 (por exemplo x=5):
  • (x-1)>0 porque 5-1=4>0.
  • (x-4)>0 porque 5-4=1>0.
    Produto: (x-1)(x-4)>0 (positivo vezes positivo é positivo). Logo f(x)>0 em (4,\infty).
Além disso, em x=1 e x=4 temos (x-1)(x-4)=0, então f(1)=0 e f(4)=0.
Observação didática: como o coeficiente de x^{2} é 1>0, a parábola abre para cima, o que significa que a função é positiva para x muito à esquerda e muito à direita, e pode ser negativa entre as raízes (caso elas existam e sejam distintas), exatamente o que vimos aqui.

Passo 6

Verificação numérica rápida para fixar a ideia:
  • f(0)=0^{2}-5\cdot0+4=4>0 (confirma (-\infty,1)).
  • f(2)=2^{2}-5\cdot2+4=4-10+4=-2<0 (confirma (1,4)).
  • f(5)=25-25+4=4>0 (confirma (4,\infty)).

Resposta

f(x)>0 para x\in(-\infty,1)\cup(4,\infty)
f(x)=0 para x=1 e x=4
f(x)<0 para x\in(1,4)

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