Calcule os limites indicados.
lim t infty F(t), onde

Passo 1

O exercício pede o cálculo do limite quando ttoinfty do vetor vec F(t)=l(1+t^21-t,;arctg(t),;1- e^-2ttr). O conteúdo aqui é limites de funções vetoriais, que se obtém calculando o limite de cada componente separadamente, aplicando regras de limite para polinômios, exponenciais e funções elementares.

Passo 2

Analisando a primeira componente F1(t)=1+t^21-t: como ambos numerador e denominador são polinômios, podemos comparar o grau. O numerador tem grau 2 e o denominador grau 1. Para evidenciar, escrevemos
1+t^21-t= -t^2+1t-1= -t^2l(1+1/t^2r)tl(1-1/tr)= -t1+1/t^21-1/t

Passo 3

Quando ttoinfty, temos 1+1/t^2to1 e 1-1/tto1, logo F1(t)sim -tto -infty.

Passo 4

A segunda componente é F2(t)=arctg(t). Sabendo que a função arctan(x) tende a pi/2 quando xtoinfty, concluímos
limttoinftyarctg(t)=pi2

Passo 5

Para a terceira componente F3(t)=1- e^-2tt, note que e^-2tto0 quando ttoinfty, então o numerador tende a 1. Assim
limttoinfty1- e^-2tt=limttoinfty1t=0

Passo 6

Reunindo os resultados das três componentes, obtemos o limite do vetor.

Resposta

(-\infty, \tfrac{\pi}{2}, 0)

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