Verificar se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados:
em
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a função dada é contínua no ponto $ P(0,0) $. Estamos lidando com funções de duas variáveis e o conceito de continuidade. Para resolver isso, vamos precisar verificar se o limite da função quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $ é igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função:
No ponto $ P(0,0) $, a função vale 0.
Passo 3
Para verificar a continuidade, precisamos calcular o limite de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $. Se esse limite for igual a 0, a função será contínua nesse ponto.
Passo 4
Vamos calcular o limite:
Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1:
Passo 5
Multiplicando todos os termos por $ |x| $ (que é positivo), temos:
Passo 6
Agora, tiramos o limite de cada parte:
Passo 7
Pelo Teorema do Squeeze (ou Teorema do Aperto), se uma função está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite, então o limite da função presa também é esse valor. Assim:
Resposta
Como o limite de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $ é igual a 0, que é o valor da função no ponto, concluímos que a função é contínua em $ P(0,0) $.