Verificar se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados:
ccx sen 1y, & y neq 0 0, & y=0 em P(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a função dada é contínua no ponto $ P(0,0) $. Estamos lidando com funções de duas variáveis e o conceito de continuidade. Para resolver isso, vamos precisar verificar se o limite da função quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $ é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função:
f(x, y) = x cdot sin(1y), & se y neq 0 0, & se y = 0
No ponto $ P(0,0) $, a função vale 0.

Passo 3

Para verificar a continuidade, precisamos calcular o limite de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $. Se esse limite for igual a 0, a função será contínua nesse ponto.

Passo 4

Vamos calcular o limite:
lim(x, y) to (0,0) x cdot sin(1y)
Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1:
-1 <= sin(1y) <= 1

Passo 5

Multiplicando todos os termos por $ |x| $ (que é positivo), temos:
|x|

Passo 6

Agora, tiramos o limite de cada parte:
lim(x, y) to (0,0) -|x| = 0 e lim(x, y) to (0,0) |x| = 0

Passo 7

Pelo Teorema do Squeeze (ou Teorema do Aperto), se uma função está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite, então o limite da função presa também é esse valor. Assim:
lim(x, y) to (0,0) x cdot sin(1y) = 0

Resposta

Como o limite de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $ é igual a 0, que é o valor da função no ponto, concluímos que a função é contínua em $ P(0,0) $.

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