Calcule os limites indicados:
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{4}-1}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to -1}\frac{x^{4}-1}{x^{2}-1}.
O conteúdo aqui é limite de uma função racional que, ao substituir x=-1, gera uma forma indeterminada 0/0. Para resolver, vamos usar fatoração de polinômios e simplificação.

Passo 2

Verificamos a substituição direta:
(-1)^{4}-1 = 1-1 = 0,
(-1)^{2}-1 = 1-1 = 0.
Portanto a expressão é do tipo indeterminado \tfrac{0}{0}, o que justifica a fatoração.

Passo 3

Fatoramos o numerador usando a diferença de quadrados duas vezes:
x^{4}-1 = (x^{2}-1)(x^{2}+1).
Assim
\frac{x^{4}-1}{x^{2}-1} = \frac{(x^{2}-1)(x^{2}+1)}{x^{2}-1}.
Para x\neq \pm1, podemos cancelar o fator x^{2}-1, restando
x^{2}+1.

Passo 4

O limite passa a ser
\lim_{x\to -1}(x^{2}+1),
que é uma função polinomial contínua. Basta substituir x=-1:
(-1)^{2}+1 = 1+1 = 2.

Resposta

2

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