Determine as equações dos planos tangente e da reta normal ao gráfico da função dada. no ponto dado:
f(x, y)=x e^{x^{2}-y^{2}} \mathrm{em}(1,-1, f(1,-1))

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente e a reta normal ao gráfico da função
z = f(x,y) = x e^{\,x^{2}-y^{2}}
no ponto (1,-1,f(1,-1)).
Conteúdo: derivadas parciais e fórmula do plano tangente a uma superfície z=f(x,y).

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de f.
f(x,y) = x\,e^{x^{2}-y^{2}}
Aplicando a regra do produto e a cadeia:
f_{x}(x,y) = e^{x^{2}-y^{2}} + x\,e^{x^{2}-y^{2}}\cdot 2x = e^{x^{2}-y^{2}}\,(1+2x^{2}),
f_{y}(x,y) = x\,e^{x^{2}-y^{2}}\cdot \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}-y^{2}) = x\,e^{x^{2}-y^{2}}\cdot(-2y) = -2xy\,e^{x^{2}-y^{2}}.

Passo 3

Agora avaliamos em (x_{0},y_{0})=(1,-1). Como
f(1,-1)=1\cdot e^{1-1}=1,
temos
f_{x}(1,-1) = e^{0}\,(1+2\cdot1^{2}) =1\cdot3 =3,
f_{y}(1,-1) = -2\cdot1\cdot(-1)\,e^{0} =2.

Passo 4

A equação do plano tangente a z=f(x,y) em (1,-1,1) é
z - z_{0} = f_{x}(1,-1)\,(x - x_{0}) + f_{y}(1,-1)\,(y - y_{0}).
Substituindo x_{0}=1, y_{0}=-1, z_{0}=1, f_{x}=3, f_{y}=2, obtemos
z - 1 = 3\,(x-1) + 2\,(y+1).

Passo 5

O vetor normal ao plano tangente é \bigl(f_{x}(1,-1),\,f_{y}(1,-1),\,-1\bigr) = (3,2,-1).
Logo a reta normal à superfície em (1,-1,1) tem equações paramétricas
\begin{cases} x = 1 + 3\,t,\\\ y = -1 + 2\,t,\\\ z = 1 - t. \end{cases}

Resposta

Plano tangente:
z - 1 = 3\,(x-1) + 2\,(y+1).
Reta normal:
\begin{cases} x = 1 + 3t,\\\ y = -1 + 2t,\\\ z = 1 - t. \end{cases}

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