Calcule os limites e indique onde foram utilizadas as Regras de L’Hospital:
(j) lim x 0 ln (1+x^2)x arctg x

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto0lnl(1+x^2r)x,arctan x
que é uma indeterminação do tipo tfrac00. Vamos usar a Regra de L’Hospital para resolver.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada:
ln(1+0^2)=0 e 0cdotarctan0=0, logo temos tfrac00.

Passo 3

Aplicamos a Regra de L’Hospital pela primeira vez, diferenciando numerador e denominador:
Derivada do numerador:
ddxln(1+x^2)=2x1+x^2
Derivada do denominador:
ddxl[x,arctan xr] =arctan x + xcdot11+x^2
Assim o limite vira
limxto02x1+x^2arctan x + x1+x^2

Passo 4

Ao substituir x=0 na expressão atual, o numerador tende a 0 e o denominador também tende a 0, então ainda temos tfrac00 e podemos aplicar L’Hospital de novo.

Passo 5

Aplicamos a Regra de L’Hospital pela segunda vez:
Derivada do numerador tfrac2x1+x^2:
ddxl(tfrac2x1+x^2r) =2(1+x^2)-4x^2(1+x^2)^2 =2(1-x^2)(1+x^2)^2
Derivada do denominador arctan x + tfracx1+x^2:
ddxl(arctan xr) = 11+x^2, ddxl(tfracx1+x^2r) =1-x^2(1+x^2)^2,
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ddxl[arctan x + tfracx1+x^2r] =11+x^2 + 1-x^2(1+x^2)^2 =2(1+x^2)^2
O limite passa a ser
limxto0 2(1-x^2)(1+x^2)^22(1+x^2)^2 =limxto0(1-x^2) =1

Resposta

1

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