Calcule os limites e indique onde foram utilizadas as Regras de L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{3 x}}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{3x}}{x^{2}}.
Para x\to+\infty temos e^{3x}\to+\infty e x^{2}\to+\infty, ou seja, forma indeterminada \infty/\infty. Vamos usar a Regra de L’Hospital, que permite substituir o limite pela razão das derivadas do numerador e do denominador enquanto a indeterminação persistir.

Passo 2

Aplicamos a Regra de L’Hospital pela primeira vez. Derivando numerador e denominador:
\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{3x}}{x^{2}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{d}{dx}e^{3x}}{\frac{d}{dx}x^{2}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{3e^{3x}}{2x}.

Passo 3

No novo limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{3e^{3x}}{2x}
ainda há forma \infty/\infty. Aplicamos a Regra de L’Hospital mais uma vez:
\lim_{x\to+\infty}\frac{3e^{3x}}{2x} =\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{d}{dx}(3e^{3x})}{\frac{d}{dx}(2x)} =\lim_{x\to+\infty}\frac{9e^{3x}}{2}.

Resposta

+\infty

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