Resolva as equações diferenciais
x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+\left(x^{2}-\frac{1}{9}\right) y=0.

Passo 1

Estamos diante da equação diferencial
x^{2}y'' + x y' + \biggl(x^{2} - \tfrac{1}{9}\biggr)y = 0
que é uma equação de Bessel de segunda ordem. Para resolvê-la, vamos reconhecer o seu formato canônico e usar as funções de Bessel.

Passo 2

Dividindo tudo por x^{2} (supondo x\neq0) obtemos a forma padrão
y'' + \frac{1}{x}y' + \Bigl(1 - \frac{1}{9x^{2}}\Bigr)y = 0.

Passo 3

A forma geral da equação de Bessel de ordem \nu é
y'' + \frac{1}{x}y' + \Bigl(1 - \frac{\nu^{2}}{x^{2}}\Bigr)y = 0.
Comparando com o nosso caso, vemos que
\nu^{2} = \frac{1}{9} \quad\Longrightarrow\quad \nu = \frac{1}{3}.

Passo 4

Sabendo que o valor da ordem é \nu=\tfrac{1}{3}, a solução geral se escreve como combinação linear das funções de Bessel de primeira e segunda espécie:
y(x) = C_{1}\,J_{\frac{1}{3}}(x) + C_{2}\,Y_{\frac{1}{3}}(x),
onde J_{\frac{1}{3}} e Y_{\frac{1}{3}} são, respectivamente, a função de Bessel de primeira e de segunda espécie de ordem \tfrac{1}{3}.

Resposta

A solução geral é
y(x) = C_{1}\,J_{\tfrac{1}{3}}(x) + C_{2}\,Y_{\tfrac{1}{3}}(x).

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