Sejam g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} diferenciável e f dada por f(x)=x g\left(x^{2}\right). Calcule f^{\prime}(1) sabendo que g(1)=4 \mathrm{e} g^{\prime}(1)=2.

Passo 1

O enunciado nos dá uma função diferenciável g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} e define
f(x)=x\,g\bigl(x^{2}\bigr).
Pede-se f'(1) sabendo que g(1)=4e e g'(1)=2. Vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia para derivar.

Passo 2

Aplicando a regra do produto em f(x)=x\cdot g\bigl(x^{2}\bigr) e em seguida a regra da cadeia, obtemos
f'(x) =\frac{d}{dx}[x]\;\,g\bigl(x^{2}\bigr) + x\;\frac{d}{dx}\bigl[g(x^{2})\bigr] =1\cdot g\bigl(x^{2}\bigr) + x\cdot g'\bigl(x^{2}\bigr)\cdot 2x =g\bigl(x^{2}\bigr)+2x^{2}\,g'\bigl(x^{2}\bigr).

Passo 3

Agora avaliamos em x=1:
f'(1) =g\bigl(1^{2}\bigr)+2\cdot1^{2}\,g'\bigl(1^{2}\bigr) =g(1)+2\,g'(1) =4e+2\cdot2 =4e+4.

Resposta

4e+4

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