Encontre d y / d x por derivação implícita.
x^{2}+x y-y^{2}=4

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \frac{d y}{d x} por derivação implícita na curva
x^{2} + x\,y - y^{2} = 4.
Aqui vamos usar as regras de derivada de soma, produto e cadeia.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
  • \frac{d}{dx}(x^{2}) = 2x.
  • \frac{d}{dx}(x\,y) usa a regra do produto: x\cdot\frac{dy}{dx} + y\cdot\frac{d x}{dx} = x\,y' + y.
  • \frac{d}{dx}(y^{2}) usa a regra da cadeia: 2y\cdot\frac{dy}{dx} = 2y\,y'.
  • \frac{d}{dx}(4)=0.
Logo,
2x + \bigl(x\,y' + y\bigr) - 2y\,y' = 0.

Passo 3

Agrupando os termos que contêm y' e os que não contêm:
2x + y + x\,y' - 2y\,y' = 0 \quad\Longrightarrow\quad x\,y' - 2y\,y' = -2x - y \quad\Longrightarrow\quad (x - 2y)\,y' = -2x - y.

Passo 4

Isolando y':
y' = \frac{-2x - y}{\,x - 2y\,}.

Resposta

\frac{d y}{d x} = \frac{-2x - y}{x - 2y}.

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