Calcule os limites e indique onde foram utilizadas as Regras de L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln x}{e^{2 x}}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{e^{2x}}
O conteúdo aplicado será a Regra de L’Hospital, pois ao fazermos x\to+\infty temos \ln(x)\to+\infty e e^{2x}\to+\infty, caracterizando a forma indeterminada \infty/\infty.

Passo 2

Como identificamos a forma \infty/\infty, podemos aplicar a Regra de L’Hospital diferenciando numerador e denominador:
a derivada de \ln(x) é \tfrac{1}{x} e a de e^{2x} é 2e^{2x}. Logo,
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{e^{2x}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{\tfrac{1}{x}}{2e^{2x}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{2x\,e^{2x}}.

Passo 3

No novo limite, o denominador 2x\,e^{2x} cresce sem limite quando x\to+\infty, logo
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{2x\,e^{2x}}=0.

Resposta

O valor do limite é 0.

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