Calcule os limites no infinito
lim x +infty(raiz9 x^2+x-3 x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto+inftyl(raiz9x^2+x-3xr).
Aqui temos uma indeterminação do tipo “ infty-infty”, típica de limites que envolvem raiz quadrada. Vamos usar a técnica de racionalização do conjugado.

Passo 2

Observamos que quando xto+infty, tanto raiz9x^2+x quanto 3x tendem a +infty, gerando a forma indeterminada. Para contornar isso, multiplicamos a expressão pelo conjugado
raiz9x^2+x+3x sobre si mesmo.

Passo 3

Multiplicando e simplificando, temos
raiz9x^2+x-3x = l(raiz9x^2+x-3xr)l(raiz9x^2+x+3xr) raiz9x^2+x+3x = 9x^2 + x - 9x^2raiz9x^2+x+3x = xraiz9x^2+x+3x

Passo 4

Para avaliar o limite, dividimos numerador e denominador por x:
xraiz9x^2+x+3x = 1raiz9 + tfrac1x+3
Como xto+infty, tfrac1xto0, então
raiz9 + tfrac1x;to;raiz9=3 Longrightarrow 1raiz9 + tfrac1x+3;to;13+3=16

Resposta

16

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