É convergente ou divergente? Justifique.
sumk=1^infty 5^k3^k+4^k

Passo 1

O enunciado nos dá a série sumk=1^infty 5^k3^k+4^k. O conteúdo aqui é análise de convergência de séries infinitas e vamos precisar usar o teste da divergência (condição necessária akto0).

Passo 2

Vamos examinar o comportamento do termo geral ak = 5^k3^k+4^k. Dividindo numerador e denominador por 4^k para facilitar o limite, temos:
5^k3^k+4^k = (5/4)^k(3/4)^k + 1
Como (3/4)^kto0 quando ktoinfty, o termo geral se comporta como (5/4)^k, que cresce sem limite.

Passo 3

Pela condição necessária para convergência de séries, se limktoinftyak neq 0 a série diverge. Aqui aktoinfty, logo não tende a zero e a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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