Calcule os limites no infinito e diga se o resultado resulta em uma assíntota horizontal.:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1+2 x}{2-x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{1+2x}{2-x}
e, a partir desse valor, decidir se existe uma assíntota horizontal. O conteúdo aqui é limite de função racional no infinito e interpretação geométrica em termos de assíntota.

Passo 2

Para calcular limites no infinito de funções racionais, o procedimento padrão é dividir numerador e denominador pela maior potência de x presente. Aqui, a maior potência é x. Assim, escrevemos
\frac{1+2x}{2-x} =\frac{x\bigl(\tfrac{1}{x}+2\bigr)}{x\bigl(\tfrac{2}{x}-1\bigr)} =\frac{\tfrac{1}{x}+2}{\tfrac{2}{x}-1}.

Passo 3

Agora aplicamos x\to+\infty. Sabemos que
\lim_{x\to+\infty}\tfrac{1}{x}=0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to+\infty}\tfrac{2}{x}=0,
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\lim_{x\to+\infty}\frac{\tfrac{1}{x}+2}{\tfrac{2}{x}-1} =\frac{0+2}{0-1} =-2.

Passo 4

Como o limite da função quando x\to+\infty é uma constante -2, isso significa que a reta
y=-2
é uma assíntota horizontal à curva definida por \tfrac{1+2x}{2-x} quando x\to+\infty.

Resposta

\lim_{x\to+\infty}\frac{1+2x}{2-x}=-2,
portanto há assíntota horizontal y=-2.

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