Determine as assíntotas verticais das funções abaixo, através do cálculo de limites infinitos:
f(x)=\frac{1-2 x}{x^{2}-3}

Passo 1

O enunciado pede para determinar as assíntotas verticais da função
f(x)=\frac{1-2x}{x^2-3}
usando limites infinitos nos pontos onde o denominador se anula. O conteúdo é análise de limites laterais em pontos de descontinuidade vertical.

Passo 2

Encontrar onde o denominador se anula, resolvendo
x^2-3=0 \implies x=\pm\sqrt{3}.
Esses são os pontos candidatos a assíntota vertical.

Passo 3

Calcular os limites em x=\sqrt{3}. Note que
1-2x\big|_{x=\sqrt{3}}=1-2\sqrt{3}<0,\quad x^2-3=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}).
Para x\to\sqrt{3}^+: x-\sqrt{3}>0, x+\sqrt{3}>0 x^2-3\to0^+. Logo
\lim_{x\to\sqrt{3}^+}f(x)=\frac{\text{negativo}}{0^+}=-\infty.
Para x\to\sqrt{3}^-: x-\sqrt{3}<0, x+\sqrt{3}>0 x^2-3\to0^-. Logo
\lim_{x\to\sqrt{3}^-}f(x)=\frac{\text{negativo}}{0^-}=+\infty.

Passo 4

Calcular os limites em x=-\sqrt{3}. Observe que
1-2x\big|_{x=-\sqrt{3}}=1+2\sqrt{3}>0.
Para x\to-\sqrt{3}^+: x+\sqrt{3}>0, x-\sqrt{3}<0 x^2-3\to0^-. Logo
\lim_{x\to-\sqrt{3}^+}f(x)=\frac{\text{positivo}}{0^-}=-\infty.
Para x\to-\sqrt{3}^-: x+\sqrt{3}<0, x-\sqrt{3}<0 x^2-3\to0^+. Logo
\lim_{x\to-\sqrt{3}^-}f(x)=\frac{\text{positivo}}{0^+}=+\infty.

Resposta

As assíntotas verticais são
x=\sqrt{3} \quad\text{e}\quad x=-\sqrt{3}.

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