Determine as assíntotas verticais das funções abaixo, através do cálculo de limites infinitos:
f(x)=\frac{2 x^{2}+5 x-3}{|x+2|}

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas verticais de f(x)=\frac{2x^2+5x-3}{|x+2|} usando limites infinitos. Lembrando que, em x=a, aparece assíntota vertical se \lim_{x\to a^-}f(x) ou \lim_{x\to a^+}f(x) for \pm\infty.

Passo 2

Procuramos onde o denominador zera:
|x+2|=0\quad\Longrightarrow\quad x=-2.
Esse é o único candidato a assíntota vertical.

Passo 3

Para avaliar os limites em x=-2, escrevemos |x+2| de forma piecewise:
Para x<-2 temos |x+2|=-(x+2), então
f(x)=-\frac{2x^2+5x-3}{x+2}.
Para x>-2 temos |x+2|=x+2, então
f(x)=\frac{2x^2+5x-3}{x+2}.

Passo 4

Calculamos \lim_{x\to -2^-}f(x). No numerador 2x^2+5x-3\to2(-2)^2+5(-2)-3=-5. Em x+2\to0^-. Assim,
-\frac{2x^2+5x-3}{x+2}\;\longrightarrow\; -\frac{-5}{0^-} \;=\;-\bigl(+\infty\bigr) \;=\;-\,\infty.

Passo 5

Calculamos \lim_{x\to -2^+}f(x). O numerador tende a -5 e x+2\to0^+. Logo
\frac{2x^2+5x-3}{x+2}\;\longrightarrow\;\frac{-5}{0^+} \;=\;-\,\infty.

Resposta

A função tem assíntota vertical em x=-2, pois ambos os limites laterais divergem para -\infty.

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