Calcule os limites infinitos
e)
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Passo 1
Nesse exercício vamos analisar o comportamento de
para ver se ela diverge para infinito ou menos infinito. Vamos precisar fatorar o denominador e estudar os limites laterais.
Passo 2
Fatoramos o denominador usando a diferença de quadrados. Temos
$$
x^2-4=(x-2)(x+2)
$$
x^2-4=(x-2)(x+2)
$$
Logo a função fica
$$
\frac{x-1}{x^2-4}=\frac{x-1}{(x-2)(x+2)}
$$
\frac{x-1}{x^2-4}=\frac{x-1}{(x-2)(x+2)}
$$
Passo 3
Observamos que quando
se aproxima de 2, o numerador
tende a 1 (positivo), enquanto o denominador tende a zero. O sinal desse denominador muda dependendo se
vem da direita ou da esquerda de 2.
Passo 4
Para o limite pela direita (
): temos
e
, então
. Com numerador
, a fração fica positiva e o denominador vai a zero, fazendo
$$
\lim_{x\to 2^+}\frac{x-1}{(x-2)(x+2)}=+\infty
$$
\lim_{x\to 2^+}\frac{x-1}{(x-2)(x+2)}=+\infty
$$
Passo 5
Para o limite pela esquerda (
): temos
e
, então
. Com numerador positivo, a fração fica negativa e o denominador vai a zero, fazendo
$$
\lim_{x\to 2^-}\frac{x-1}{(x-2)(x+2)}=-\infty
$$
\lim_{x\to 2^-}\frac{x-1}{(x-2)(x+2)}=-\infty
$$
Passo 6
Como os dois limites laterais são diferentes, o limite bilateral não existe (diverge).