Calcule os limites infinitos
e) lim x 2 x-1x^2-4

Passo 1

Nesse exercício vamos analisar o comportamento de para ver se ela diverge para infinito ou menos infinito. Vamos precisar fatorar o denominador e estudar os limites laterais.

Passo 2

Fatoramos o denominador usando a diferença de quadrados. Temos
$$
x^2-4=(x-2)(x+2)
$$
Logo a função fica
$$
\frac{x-1}{x^2-4}=\frac{x-1}{(x-2)(x+2)}
$$

Passo 3

Observamos que quando x se aproxima de 2, o numerador x-1 tende a 1 (positivo), enquanto o denominador tende a zero. O sinal desse denominador muda dependendo se x vem da direita ou da esquerda de 2.

Passo 4

Para o limite pela direita ( xto 2^+): temos x-2>0 e x+2>0, então (x-2)(x+2)>0. Com numerador x-1>0, a fração fica positiva e o denominador vai a zero, fazendo
$$
\lim_{x\to 2^+}\frac{x-1}{(x-2)(x+2)}=+\infty
$$

Passo 5

Para o limite pela esquerda ( xto 2^-): temos x-2<0 e x+2>0, então (x-2)(x+2)<0. Com numerador positivo, a fração fica negativa e o denominador vai a zero, fazendo
$$
\lim_{x\to 2^-}\frac{x-1}{(x-2)(x+2)}=-\infty
$$

Passo 6

Como os dois limites laterais são diferentes, o limite bilateral não existe (diverge).

Resposta

limxto 2^+ x-1x^2-4=+infty, limxto 2^- x-1x^2-4=-infty; o limite bilateral não existe.

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