Calcule os limites em
, apresentando apenas os resultados finais. (2pts.)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando
se aproxima de
para a expressão
. Isso envolve o estudo de limites em funções trigonométricas e algebricas.
Passo 2
Vamos analisar o comportamento de cada parte da expressão quando
se aproxima de
:
-
se aproxima de . -
tende ao infinito porque é indefinido (a tangente de tende ao infinito).
Portanto, estamos lidando com uma forma indeterminada do tipo
.
Passo 3
Para resolver essa forma indeterminada, vamos reescrever a expressão de maneira que possamos aplicar a Regra de L’Hôpital. Podemos reescrever
como
, onde
.
Agora, a expressão fica:
Essa nova forma nos dá uma indeterminação do tipo
, onde podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 4
Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador separadamente:
- Derivada do numerador
em relação a é . - Derivada do denominador
em relação a é .
Então, o limite passa a ser:
Passo 5
Sabemos que
, então
. Substituindo na expressão:
Agora, avaliamos o limite de
quando
se aproxima de
:
Portanto: