Calcule os limites em [-infty, infty], apresentando apenas os resultados finais. (2pts.) lim x (pi / 2)(pi-2 x) tg x= square

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando se aproxima de para a expressão . Isso envolve o estudo de limites em funções trigonométricas e algebricas.

Passo 2

Vamos analisar o comportamento de cada parte da expressão quando se aproxima de :
  • se aproxima de .
  • tende ao infinito porque é indefinido (a tangente de tende ao infinito).
Portanto, estamos lidando com uma forma indeterminada do tipo .

Passo 3

Para resolver essa forma indeterminada, vamos reescrever a expressão de maneira que possamos aplicar a Regra de L’Hôpital. Podemos reescrever limx to pi2 pi - 2xcot x como , onde .
Agora, a expressão fica:
Essa nova forma nos dá uma indeterminação do tipo , onde podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador separadamente:
  • Derivada do numerador limx to pi2 -2- csc^2 x = limx to pi2 2csc^2 x em relação a é .
  • Derivada do denominador em relação a é .
Então, o limite passa a ser:

Passo 5

Sabemos que 2csc^2 x = 2 sin^2 x , então sin(pi2) = 1 Rightarrow sin^2(pi2) = 1 . Substituindo na expressão:
2 sin^2(pi2) = 2 times 1 = 2
Agora, avaliamos o limite de quando se aproxima de :
Portanto:

Resposta

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