A função de utilidade expressa a preferência do consumidor por diferentes quantidades do produto, assim, considere a seguinte função utilidade
onde
representa a quantidade de produto. Qual a quantidade que maximiza a utilidade desse produto?
(a) 150 .
(b) 120 .
© 200 .
(d) 170 .
(e) 140 .
(a) 150 .
(b) 120 .
© 200 .
(d) 170 .
(e) 140 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado nos apresenta uma função de utilidade que mostra a preferência de um consumidor por diferentes quantidades de um produto. A função é:
Nosso objetivo aqui é encontrar a quantidade
que maximiza essa utilidade. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para identificar o ponto onde a utilidade atinge seu valor máximo.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que para encontrar o ponto de máximo da função
, devemos derivar a função em relação a
e igualar essa derivada a zero. A derivada nos dá a taxa de variação da utilidade em relação à quantidade, e o ponto onde essa taxa é zero indica um ponto crítico, que pode ser um máximo ou mínimo.
A função dada é:
Vamos calcular a derivada de
em relação a
.
Passo 3
A derivada de cada termo da função é calculada da seguinte forma:
- A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de uma constante (
) é .
Então, a derivada de
é:
Passo 4
Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Resolvendo para
:
Passo 5
Encontramos que
é o ponto crítico. Para confirmar que esse ponto realmente maximiza a utilidade, podemos analisar a segunda derivada da função.
A segunda derivada de
é a derivada de
:
Como a segunda derivada é negativa (
), isso indica que a função tem um ponto de máximo em
.
Resposta
A quantidade que maximiza a utilidade desse produto é 150. Alternativa (a).