A função de utilidade expressa a preferência do consumidor por diferentes quantidades do produto, assim, considere a seguinte função utilidade
U(q) = -2q^2 + 600q - 20000, q ≥ 0
onde q representa a quantidade de produto. Qual a quantidade que maximiza a utilidade desse produto?
(a) 150 .
(b) 120 .
© 200 .
(d) 170 .
(e) 140 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado nos apresenta uma função de utilidade que mostra a preferência de um consumidor por diferentes quantidades de um produto. A função é:
Nosso objetivo aqui é encontrar a quantidade que maximiza essa utilidade. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para identificar o ponto onde a utilidade atinge seu valor máximo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que para encontrar o ponto de máximo da função , devemos derivar a função em relação a e igualar essa derivada a zero. A derivada nos dá a taxa de variação da utilidade em relação à quantidade, e o ponto onde essa taxa é zero indica um ponto crítico, que pode ser um máximo ou mínimo.
A função dada é:
Vamos calcular a derivada de em relação a .

Passo 3

A derivada de cada termo da função é calculada da seguinte forma:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de uma constante ( ) é .
Então, a derivada de é:

Passo 4

Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Resolvendo para :

Passo 5

Encontramos que é o ponto crítico. Para confirmar que esse ponto realmente maximiza a utilidade, podemos analisar a segunda derivada da função.
A segunda derivada de é a derivada de :
Como a segunda derivada é negativa ( ), isso indica que a função tem um ponto de máximo em .

Resposta

A quantidade que maximiza a utilidade desse produto é 150. Alternativa (a).

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