Sejam f e g funções definidas e deriváveis para todo x em R, tais que f(2) = g(2) e f'(x) < g'(x) para todo x no intervalo [1, 3]. Marque a única alternativa que é sempre verdadeira para todas as funções f e g que se encaixem nessas condições.
(a) f(x) ≥ g(x) quando x está em [1, 2] e f(x) <= g(x) quando x está em [2, 3].
(b) f(x) <= g(x) quando x está em [1, 2] e f(x) ≥ g(x) quando x está em [2, 3].
© f(x) - g(x) é crescente em [1, 2] e decrescente em [2, 3].
(d) f(x) - g(x) é decrescente em [1, 2] e crescente em [2, 3].
(e) f(x) <= g(x) para todo x em [1, 3].

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o enunciado tá falando. Temos duas funções, e , que são definidas e têm derivadas em todo número real. Sabemos que em , elas têm o mesmo valor, ou seja, . Além disso, a derivada de é menor que a derivada de no intervalo de . O que a gente precisa descobrir é qual das alternativas (a) a (e) sempre vai ser verdadeira pra qualquer par de funções que satisfaçam essas condições. Vamos usar conceitos de derivadas e comportamento de funções pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no que significa no intervalo . A derivada de uma função em um ponto nos diz a taxa de variação dela naquele ponto. Se , isso quer dizer que está aumentando mais rápido que no intervalo dado.

Passo 3

Agora, consideremos a diferença entre as duas funções: . A derivada dessa diferença é . Como , então . Isso significa que está diminuindo no intervalo .

Passo 4

Sabemos também que , ou seja, . Como está diminuindo nesse intervalo e no ponto a diferença é zero, isso indica que para , (já que está aumentando até chegar em zero) e para , (continuando a diminuir).

Passo 5

Vamos agora analisar as alternativas:
  • (a) Contrário ao que vimos.
  • (b) Também não condiz com a nossa análise.
  • © Diz que é crescente em e decrescente em , o que está de acordo com .
  • (d) Invertido do que determinamos.
  • (e) Afirma que para todo em , mas vimos que antes de , .

Resposta

A alternativa correta é a ©: é crescente em e decrescente em .

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