Julgue as afirmações.
(I) Se a taxa de variação média de uma função é nula em um intervalo I, então a função é constante nesse intervalo.
(II) Toda função decrescente em um intervalo I tem taxa de variação média negativa em I.
(III) Se a taxa de variação média de uma função é positiva em um intervalo I, então ela é crescente no intervalo I.
É correto afirmar que:
(a) Apenas (II) é verdadeira.
(b) Apenas (I) e (II) são verdadeiras.
© Apenas (III) é verdadeira.
(d) Todas são verdadeiras.
(e) Todas são falsas.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três afirmações sobre a taxa de variação média de uma função em um intervalo . Nosso objetivo é julgar se cada uma dessas afirmações é verdadeira ou falsa. Para isso, precisamos lembrar o que é a taxa de variação média e como ela se relaciona com o comportamento da função (se é constante, crescente ou decrescente).

Passo 2

Afirmação (I): Se a taxa de variação média de uma função é nula em um intervalo , então a função é constante nesse intervalo.
A taxa de variação média de uma função no intervalo é dada por:
çãé
Se essa taxa for nula, temos:
Isso significa que a função começa e termina com o mesmo valor no intervalo . Porém, isso não garante que a função seja constante em todo o intervalo , apenas que os pontos finais têm o mesmo valor. Pode haver variações internas que se compensam, resultando em uma taxa média nula.
Conclusão da Afirmação (I): Falsa.

Passo 3

Afirmação (II): Toda função decrescente em um intervalo tem taxa de variação média negativa em .
Uma função é decrescente em se, para quaisquer em , temos . Vamos calcular a taxa de variação média:
Como (porque a função é decrescente) e , a fração será negativa.
Conclusão da Afirmação (II): Verdadeira.

Passo 4

Afirmação (III): Se a taxa de variação média de uma função é positiva em um intervalo , então ela é crescente no intervalo .
Se a taxa de variação média é positiva:
Isso indica que, em média, a função aumenta do para o . Contudo, isso não garante que a função seja estritamente crescente em todo o intervalo . Pode haver pontos onde a função diminui, mas, no geral, a mudança é positiva.
Conclusão da Afirmação (III): Falsa.

Resposta

Apenas a afirmação (II) é verdadeira. Portanto, a opção correta é a letra a).

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