Calcule os limites justificando cada passagem pelas Leis dos Limites, caso forem usadas.
lim x 0 (2+3 x)^3-4 x^22(2-x)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão é calcular o limite quando x se aproxima de 0 da expressão (2+3x)^3-4x^22(2-x)^2. Vamos usar as Leis dos Limites e algumas propriedades de funções polinomiais para chegar na resposta. Precisamos saber como expandir potências de binômios e simplificar expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir (2 + 3x)^3. Para isso, usamos a fórmula do cubo de um binômio:
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
Aqui, a = 2 e b = 3x . Aplicando a fórmula:
(2 + 3x)^3 = 2^3 + 3 cdot 2^2 cdot 3x + 3 cdot 2 cdot (3x)^2 + (3x)^3
Calculando cada termo:
2^3 = 8
3 cdot 2^2 cdot 3x = 3 cdot 4 cdot 3x = 36x
3 cdot 2 cdot (3x)^2 = 3 cdot 2 cdot 9x^2 = 54x^2
(3x)^3 = 27x^3
Então:
(2 + 3x)^3 = 8 + 36x + 54x^2 + 27x^3

Passo 3

Agora, substituímos a expansão de (2 + 3x)^3 na expressão original:
(2+3x)^3-4x^22(2-x)^2 = 8 + 36x + 54x^2 + 27x^3 - 4x^22(2-x)^2
Simplificamos o numerador combinando os termos semelhantes:
54x^2 - 4x^2 = 50x^2
Então, o numerador fica:
8 + 36x + 50x^2 + 27x^3

Passo 4

Agora, vamos expandir o denominador 2(2 - x)^2. Primeiro, expandimos (2 - x)^2:
(2 - x)^2 = 2^2 - 2 cdot 2 cdot x + x^2 = 4 - 4x + x^2
Multiplicando por 2:
2(4 - 4x + x^2) = 8 - 8x + 2x^2

Passo 5

Agora, temos a expressão simplificada:
8 + 36x + 50x^2 + 27x^38 - 8x + 2x^2
Para calcular o limite quando x se aproxima de 0, podemos substituir x = 0 diretamente, já que não teremos divisão por zero ou qualquer indeterminação:
8 + 36(0) + 50(0)^2 + 27(0)^38 - 8(0) + 2(0)^2 = 88 = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

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