Encontre a solução geral dos seguintes sistemas.
X^prime=(ll-1 & 2 -1 & 1) X.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear de coeficientes constantes
X' = A,X, A = -1 & 2 -1 & 1
O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares por diagonalização (ou exponencial de matriz). Vamos precisar do polinômio característico e, como veremos, de uma forma direta usando a série de Taylor de exp(At).

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det-1-lambda & 2 -1 & 1-lambda = (-1-lambda)(1-lambda) - (2)(-1) = lambda^2 + 1
As raízes são
lambda^2 + 1 = 0 ;Longrightarrow; lambda = pm i,
logo há autovalores imaginários puros, o que indica soluções oscilatórias.

Passo 3

Observamos que
A^2 = -1 & 2 -1 & 1^2 = -I
Isso é ótimo, porque a série de Taylor de exp(At) fica
exp(At) = I + At + (At)^22! + (At)^33! + cdots = Icos t + Asin t

Passo 4

Escrevendo explicitamente,
exp(At) = Icos t + Asin t = 1 & 0 0 & 1cos t + -1 & 2 -1 & 1sin t = cos t -sin t & 2,sin t -sin t & cos t + sin t

Passo 5

A solução geral é
X(t) = exp(At),X(0)
Tomando como vetores fundamentais as colunas de exp(At) e introduzindo constantes C1,C2, obtemos
X(t) = C1,cos t - sin t -sin t + C2,2,sin t cos t + sin t,
once C1 e C2 são constantes reais arbitrárias definidas pelo valor inicial X(0).

Resposta

X(t) = C1 cos t - sin t -sin t + C2 2,sin t cos t + sin t ,
com C1,C2inR.

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