Calcule os limites laterais, se existirem (como números reais, ou \infty, ou -\infty ):
\lim _{x \rightarrow-2^{-}} \frac{x+1}{x^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede o limite lateral
\lim_{x\to -2^-}\frac{x+1}{x^2-4}
Este é um exercício de limites laterais de função racional com ponto de descontinuidade em x=-2. Para resolver, vamos precisar de fatoração do denominador e de análise de sinal próximo a x=-2 pela esquerda.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^2-4=(x-2)(x+2).
Assim a função fica
\frac{x+1}{x^2-4} =\frac{x+1}{(x-2)(x+2)}.

Passo 3

Analisamos o comportamento de cada fator quando x\to -2^-:
  • Numerador: x+1\to -2+1=-1 (positivo ou negativo? é -1, logo negativo e não nulo).
  • Fator (x-2): para x perto de -2, temos x-2\approx -4, que é negativo e não muda de sinal.
  • Fator (x+2): quando x\to -2^-, x+2 é um número negativo muito pequeno (tende a 0 vindo de valores menores que zero).
Multiplicando sinais em (x-2)(x+2) temos negativo \times negativo = positivo, mas como (x+2)\to 0, o produto (x-2)(x+2)\to 0^+. Portanto o denominador tende a 0 pela direita.

Passo 4

Como o numerador tende a um valor fixo negativo (-1) e o denominador tende a 0^+, a fração
\frac{x+1}{(x-2)(x+2)}
tende a -\infty.

Resposta

-\infty

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