Calcule os limites laterais, se existirem (como números reais, ou \infty, ou -\infty ):
\lim _{x \rightarrow-2^{+}} \frac{x-1}{x^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede a avaliação do limite lateral
\lim_{x\to -2^+} \frac{x-1}{x^2-4}.
O conteúdo é limites laterais de funções racionais. Vamos usar fatoração do denominador e análise de sinais para decidir se o quociente tende a um número real finito ou diverge para \infty ou -\infty.

Passo 2

Fatoramos o denominador usando a diferença de quadrados:
x^2-4 = (x-2)\,(x+2).
Assim a expressão fica
\frac{x-1}{x^2-4} = \frac{x-1}{(x-2)(x+2)}.

Passo 3

Analisamos o numerador perto de x=-2. Como a função x-1 é contínua, temos
\lim_{x\to -2^+}(x-1) = -2-1 = -3.
Logo o numerador tende a -3 (um valor negativo e finito).

Passo 4

Agora o denominador: para x\to -2^+ temos
  • x-2 \to -2 - 2 = -4 (um valor negativo próximo de -4),
  • x+2 \to 0^+ (aproxima-se de zero por valores maiores que -2).
    Multiplicando,
(x-2)(x+2) \;\longrightarrow\; (-4)\cdot(0^+) = 0^-\!,
isto é, tende a zero pelo lado negativo.

Passo 5

Como o numerador tende a -3 (negativo) e o denominador tende a 0^- (negativo e muito pequeno), o quociente tende a
\frac{\text{negativo}}{\text{negativo muito pequeno}} \;=\; +\infty.

Resposta

\lim_{x\to -2^+} \frac{x-1}{x^2-4} = +\infty.

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