Calcule os limites laterais solicitados:
Dada g(x)=\left\{\begin{array}{ll}3 x-1 & \text { se } x<1 \\\ x+2 & \text { se } x \geq 1\end{array}\right., calcule:
(a) lim _{x \rightarrow 1^{-}} g(x)
(b) lim _{x \rightarrow 1^{+}} g(x)
(c) lim _{x \rightarrow 1} g(x)

Passo 1

O enunciado dá a função em partes
g(x)=\begin{cases} 3x-1 & \text{se } x<1,\\[4pt] x+2 & \text{se } x\ge 1, \end{cases}
e pede os seguintes limites:
(a) \lim_{x\to1^-} g(x),
(b) \lim_{x\to1^+} g(x),
(c) \lim_{x\to1} g(x).
Também é útil notar que a expressão da função muda exatamente em x=1.]

Passo 2

Conceito rápido e prático: o limite lateral pela esquerda \lim_{x\to1^-} g(x) é o valor que g(x) se aproxima quando x se aproxima de 1 por valores menores que 1 (ou seja, usando a regra válida para x<1). Para x<1 a função é dada por \;3x-1. Funções lineares como \;3x-1 são contínuas em toda parte, o que significa que o limite de \;3x-1 quando x\to1 é simplesmente o valor obtido substituindo x=1. Então calculamos:
\lim_{x\to1^-} g(x)=\lim_{x\to1^-} (3x-1)=3\cdot 1-1=2.
Uma verificação numérica rápida: para x=0{,}9 temos 3(0{,}9)-1=1{,}7; para x=0{,}99 temos 3(0{,}99)-1=1{,}97. Esses valores se aproximam de 2 conforme x se aproxima de 1 pela esquerda.

Passo 3

Agora o limite lateral pela direita \lim_{x\to1^+} g(x) usa a regra válida para x\ge1, que é \;x+2. Como \;x+2 também é linear e contínua, o limite ao nos aproximarmos de 1 pela direita é o valor obtido substituindo x=1:
\lim_{x\to1^+} g(x)=\lim_{x\to1^+} (x+2)=1+2=3.
Verificação numérica: para x=1{,}1 temos 1{,}1+2=3{,}1; para x=1{,}01 temos 1{,}01+2=3{,}01. Aproxima-se de 3.

Passo 4

Regra importante sobre limite bilateral: \lim_{x\to1} g(x) existe se e somente se os dois limites laterais existirem e forem iguais:
\lim_{x\to1} g(x)\\ \text{existe} \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{x\to1^-} g(x)=\lim_{x\to1^+} g(x).
Aqui encontramos \lim_{x\to1^-} g(x)=2 e \lim_{x\to1^+} g(x)=3. Como 2\neq3, os limites laterais são diferentes, portanto o limite bilateral não existe:
\lim_{x\to1} g(x)\\ \text{não existe}.ã

Passo 5

Comentário final (útil para a prova): a técnica é sempre a mesma em funções por partes — para o lado esquerdo use a expressão válida para x< ponto; para o lado direito use a expressão válida para x> ponto. Se ambas as expressões forem contínuas (como polinômios ou linhas) basta substituir e comparar. Você também pode checar valores numéricos próximos para ganhar confiança rápida.

Resposta

(a) \lim_{x\to1^-} g(x)=2
(b) \lim_{x\to1^+} g(x)=3
(c) \lim_{x\to1} g(x) não existe

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