Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(4 x^{3}-2 x^{2}+5\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite quando x tende a 0 da função
4x^{3}-2x^{2}+5.
Informações dadas:
\text{expressão: }4x^{3}-2x^{2}+5,\qquad \text{ponto de interesse: }x\to 0.ã
Pergunta: qual é o valor de \displaystyle \lim_{x\to 0}\left(4x^{3}-2x^{2}+5\right)?

Passo 2

Vamos lembrar regras de limites que vamos usar (explicadas de forma simples):
\lim_{x\to a}\big(f(x)+g(x)\big)=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x),
\lim_{x\to a}\big(c\cdot f(x)\big)=c\cdot\lim_{x\to a}f(x),
onde c é uma constante. Essas regras dizem: o limite de uma soma é a soma dos limites e podemos tirar constantes para fora do limite. Essas regras valem quando os limites individuais existem.

Passo 3

Aplicando a regra da soma ao nosso caso, escrevemos o limite como soma dos limites dos termos:
\lim_{x\to 0}\left(4x^{3}-2x^{2}+5\right)=\lim_{x\to 0}4x^{3}+\lim_{x\to 0}(-2x^{2})+\lim_{x\to 0}5.
Agora vamos calcular cada um separadamente.

Passo 4

Calcule \displaystyle \lim_{x\to 0}4x^{3}. Pela regra da constante:
\lim_{x\to 0}4x^{3}=4\cdot\lim_{x\to 0}x^{3}.
E \lim_{x\to 0}x^{3}=0 porque, intuitivamente, quando x fica muito pequeno, x^{3} fica ainda mais pequeno e tende a 0. Logo
\lim_{x\to 0}4x^{3}=4\cdot 0=0.

Passo 5

Calcule \displaystyle \lim_{x\to 0}(-2x^{2}). De forma análoga:
\lim_{x\to 0}(-2x^{2})=-2\cdot\lim_{x\to 0}x^{2}=-2\cdot 0=0,
pois \lim_{x\to 0}x^{2}=0.

Passo 6

Calcule \displaystyle \lim_{x\to 0}5. Uma constante tem sempre limite igual a ela mesma:
\lim_{x\to 0}5=5.

Passo 7

Some os resultados parciais obtidos:
\lim_{x\to 0}4x^{3}+\lim_{x\to 0}(-2x^{2})+\lim_{x\to 0}5=0+0+5=5.
Portanto o limite pedido é 5. Observação prática para prova: polinômios são funções contínuas, então você pode simplesmente substituir x=0 na expressão para obter o limite; aqui isso dá 4\cdot 0^{3}-2\cdot 0^{2}+5=5.

Resposta

5

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