Calcule os seguintes limites no infinito
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{-3 x^{5}+2 x^{2}-3 x}{x^{2}+2 x}=

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{-3x^{5}+2x^{2}-3x}{x^{2}+2x}.
Informações fornecidas:
  • Numerador: -3x^{5}+2x^{2}-3x.
  • Denominador: x^{2}+2x.
  • A variável x tende para +\infty.
    A pergunta é: qual é o valor (finito ou infinito) desse limite quando x\to+\infty?

Passo 2

Observação sobre graus dos polinômios (isso ajuda a escolher o método):
  • O grau do numerador é 5 (termo dominante -3x^{5}).
  • O grau do denominador é 2 (termo dominante x^{2}).
    Quando o grau do numerador é maior que o do denominador, o quociente tende a infinito em módulo. O sinal (+ \infty ou - \infty) será determinado pelo sinal do termo dominante após simplificação.

Passo 3

Para ver isso rigorosamente, dividimos numerador e denominador por x^{2} (o maior expoente que aparece no denominador), assim podemos analisar termos que vão para zero:
\frac{-3x^{5}+2x^{2}-3x}{x^{2}+2x} = \frac{x^{2}\bigl(-3x^{3}+2-\dfrac{3}{x}\bigr)}{x^{2}\bigl(1+\dfrac{2}{x}\bigr)} = \frac{-3x^{3}+2-\dfrac{3}{x}}{1+\dfrac{2}{x}}.

Passo 4

Agora analisamos o comportamento dos termos quando x\to+\infty:
  • \dfrac{3}{x}\to 0, então 2-\dfrac{3}{x}\to 2.
  • 1+\dfrac{2}{x}\to 1.
  • O termo dominante no numerador é -3x^{3}, e -3x^{3}\to -\infty quando x\to+\infty.
    Portanto o numerador -3x^{3}+2-\dfrac{3}{x}\to -\infty e o denominador \,1+\dfrac{2}{x}\to 1 (que é positivo e diferente de zero). A razão de um numerador que tende a -\infty por um denominador que tende a 1 tende a -\infty.

Resposta

-\infty

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