Calcule os limites

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente:
  1. Calcular os limites
    limxto -3^+f(x) e limxto -3^-f(x),
  2. Dizer se limxto -3f(x) existe,
  3. Verificar se f é contínua no ponto -3.
Matéria envolvida: limites laterais e continuidade de função por partes.
O que vamos usar: definição de limite lateral, saber que função racional e raiz de índice ímpar são contínuas onde estão definidas (então dá pra substituir direto).

Passo 2

Cálculo de limxto -3^-f(x).
Quando x<-3, vale
f(x)=12-3x
Função racional é contínua onde o denominador não é zero. Aqui, ao aproximar x de -3:
2-3(-3)=2+9=11neq0
Logo podemos substituir direto:
limxto -3^-12-3x =12-3(-3) =111

Passo 3

Cálculo de limxto -3^+f(x).
Quando x>=-3, vale
f(x)=raiz[3]x+2
A raiz cúbica é contínua em todo R, então substituímos x=-3:
limxto -3^+raiz[3]x+2 =raiz[3]-3+2 =raiz[3]-1 =-1

Passo 4

Existe limxto -3f(x)?
Pra existir, os dois limites laterais têm que ser iguais. Aqui:
limxto -3^-f(x)=tfrac111, limxto -3^+f(x)=-1
Como tfrac111neq -1, o limite em -3 NÃO EXISTE.

Passo 5

f é contínua em -3?
Regras de continuidade em x=-3:
  1. f(-3) existe;
  2. limxto -3f(x) existe;
  3. os dois valores são iguais.
Aqui,
f(-3)=raiz[3]-3+2=-1
existe, mas acabamos de ver que limxto -3f(x) não existe.
Logo falta a condição (2) e (3) não dá pra aplicar: f NÃO É contínua em -3.

Resposta

limxto -3^-f(x)=tfrac111,
limxto -3^+f(x)=-1,
limxto -3f(x) não existe,
e f não é contínua em x=-3.

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