Determinar, se existir, os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 5^{+}}\left(\sqrt{x^{2}-25}+3\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 5^{+}}\left(\sqrt{x^{2}-25}+3\right).
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A expressão a ser avaliada é \sqrt{x^{2}-25}+3.
  • O limite é lateral pela direita em x=5, ou seja, aproximando x de 5 com valores maiores que 5.
  • A raiz quadrada \sqrt{\cdot} exige argumento não negativo, então a expressão está definida para x tais que x^{2}-25\ge 0, isto é, para |x|\ge 5. Portanto, aproximar por x>5 é válido.
O que se pede: encontrar o valor numérico do limite quando x tende a 5 pela direita.

Passo 2

Estratégia: é conveniente fazer uma substituição que torne explícito o comportamento quando x se aproxima de 5 pela direita. Defina
h = x-5.
Como estamos tomando x\to 5^{+}, temos h\to 0^{+} (pequenos números positivos). Reescrever a expressão em função de h facilita ver o que tende a zero e o que tende a uma constante.

Passo 3

Substituindo x=5+h na expressão:
\sqrt{x^{2}-25}+3 = \sqrt{(5+h)^{2}-25}+3.
Desenvolvendo o quadrado:
(5+h)^{2}-25 = 25 + 10h + h^{2} -25 = 10h + h^{2}.
Logo
\sqrt{x^{2}-25}+3 = \sqrt{10h + h^{2}} + 3 = \sqrt{h(10+h)} + 3.

Passo 4

Analisar o termo \sqrt{h(10+h)} quando h\to 0^{+}.
Podemos reescrever
\sqrt{h(10+h)} = \sqrt{h}\,\sqrt{10+h}.
Agora usar limites simples:
  • \displaystyle \lim_{h\to 0^{+}}\sqrt{h}=0 porque a raiz de um número que vai a zero também vai a zero.
  • \displaystyle \lim_{h\to 0^{+}}\sqrt{10+h}=\sqrt{10} porque \sqrt{\cdot} é contínua e 10+h\to 10.
Como o produto de limites (quando existem e são finitos) é o limite do produto, obtemos
\lim_{h\to 0^{+}}\sqrt{h(10+h)} = \left(\lim_{h\to 0^{+}}\sqrt{h}\right)\left(\lim_{h\to 0^{+}}\sqrt{10+h}\right) = 0\cdot\sqrt{10}=0.

Passo 5

Usar que o limite da soma é a soma dos limites (quando existem):
\lim_{x\to 5^{+}}\left(\sqrt{x^{2}-25}+3\right) = \lim_{h\to 0^{+}}\left(\sqrt{h(10+h)}+3\right) = \lim_{h\to 0^{+}}\sqrt{h(10+h)} + \lim_{h\to 0^{+}}3.
Já vimos que o primeiro limite é 0 e o segundo é 3. Portanto o limite pedido é 0+3=3.

Passo 6

Comentário didático rápido e exemplo prático: a raiz \sqrt{x^{2}-25} tende a zero quando x\to 5^{+} porque x^{2}-25 tende a zero por ser (x-5)(x+5) com x-5\to 0 e x+5\to 10. Por exemplo, para x=5{,}001 tem-se x^{2}-25\approx 0{,}010001 e \sqrt{x^{2}-25}\approx 0{,}100, então a soma fica aproximadamente 3{,}100, já bem próxima de 3.

Resposta

\,3\,

Exercícios relacionados