Determinar, se existir, os limites abaixo.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A expressão a ser avaliada é
. - O limite é lateral pela direita em
, ou seja, aproximando de com valores maiores que . - A raiz quadrada
exige argumento não negativo, então a expressão está definida para tais que , isto é, para . Portanto, aproximar por é válido.
O que se pede: encontrar o valor numérico do limite quando
tende a
pela direita.
Passo 2
Estratégia: é conveniente fazer uma substituição que torne explícito o comportamento quando
se aproxima de
pela direita. Defina
Como estamos tomando
, temos
(pequenos números positivos). Reescrever a expressão em função de
facilita ver o que tende a zero e o que tende a uma constante.
Passo 3
Substituindo
na expressão:
Desenvolvendo o quadrado:
Logo
Passo 4
Analisar o termo
quando
.
Podemos reescrever
Podemos reescrever
Agora usar limites simples:
-
porque a raiz de um número que vai a zero também vai a zero. -
porque é contínua e .
Como o produto de limites (quando existem e são finitos) é o limite do produto, obtemos
Passo 5
Usar que o limite da soma é a soma dos limites (quando existem):
Já vimos que o primeiro limite é
e o segundo é
. Portanto o limite pedido é
.
Passo 6
Comentário didático rápido e exemplo prático: a raiz
tende a zero quando
porque
tende a zero por ser
com
e
. Por exemplo, para
tem-se
e
, então a soma fica aproximadamente
, já bem próxima de
.