Calcule os limites:
\lim x->+ infinito \left(5 x^{3}+7 x\right) /\left(2 x^{3}-x^{2}+4\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^{3} + 7x}{2x^{3} - x^{2} + 4}.
Este é um limite de função racional no infinito. A estratégia típica é fatorar a maior potência de x no numerador e no denominador.

Passo 2

Fatoramos x^{3} em cima e embaixo:
\frac{5x^{3} + 7x}{2x^{3} - x^{2} + 4} = \frac{x^{3}\bigl(5 + 7x^{-2}\bigr)}{x^{3}\bigl(2 - x^{-1} + 4x^{-3}\bigr)}.

Passo 3

Como x \to +\infty, temos
x^{-1} \to 0,\quad x^{-2} \to 0,\quad x^{-3} \to 0.
Logo dentro dos parênteses:
5 + 7x^{-2} \;\to\; 5, \qquad 2 - x^{-1} + 4x^{-3} \;\to\; 2.

Passo 4

Os fatores x^{3} se cancelam, e o limite passa a ser
\lim_{x \to +\infty} \frac{5 + 7x^{-2}}{2 - x^{-1} + 4x^{-3}} = \frac{5}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{2}

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