Seja S a superfície dada por z=x^{2}+y^{2}, x^{2}+y^{2} \leq 3.
(a) Defina uma orientação para S , isto é, um campo normal unitário definido em S .
(b) Calcule a área de S .
(c) Calcule o fluxo do campo F(x, y, z)=(x, y,-2 z) através de S .
(d) Calcule a integral de superficie de f(x, y, z)=\frac{1}{\sqrt{4 x^{2}+4 y^{2}+1}} sobre S .

Passo 1

O enunciado define a superfície S por
z = x^{2}+y^{2},\quad x^{2}+y^{2}\le3
e pede:
(a) um campo normal unitário em S;
(b) a área de S;
(c) o fluxo de F(x,y,z)=(x,y,-2z) através de S;
(d) a integral de superfície de f(x,y,z)=\frac{1}{\sqrt{4x^{2}+4y^{2}+1}} sobre S.
Vamos parametrizar S em coordenadas polares e usar as fórmulas de superfície paramétrica, cálculo de \bigl|\mathbf r_{r}\times\mathbf r_{\theta}\bigr|, produto escalar para fluxo e o fator de área para integrais de função sobre S.

Passo 2

Parametrização em polares:
\mathbf r(r,\theta)=\bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r^{2}\bigr), \quad 0\le r\le\sqrt3,\;0\le\theta\le2\pi.
Calculamos
\mathbf r_{r}=(\cos\theta,\;\sin\theta,\;2r), \qquad \mathbf r_{\theta}=(-r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;0).
O produto vetorial é
\mathbf r_{r}\times\mathbf r_{\theta} =\bigl(-2r^{2}\cos\theta,\;-2r^{2}\sin\theta,\;r\bigr).
Como a componente z é r>0, esse vetor aponta “para cima”. A norma vale
\bigl\|\mathbf r_{r}\times\mathbf r_{\theta}\bigr\| =\sqrt{4r^{4}+r^{2}} =r\sqrt{4r^{2}+1}.
Logo, o versor normal unitário é
\mathbf n =\frac{\mathbf r_{r}\times\mathbf r_{\theta}} {\bigl\|\mathbf r_{r}\times\mathbf r_{\theta}\bigr\|} =\frac{(-2r^{2}\cos\theta,\,-2r^{2}\sin\theta,\,r)}{r\sqrt{4r^{2}+1}} =\frac{(-2r\cos\theta,\,-2r\sin\theta,\,1)}{\sqrt{4r^{2}+1}}.
Em termos de x,y, temos
\boxed{\mathbf n(x,y,z) =\frac{(-2x,\,-2y,\,1)}{\sqrt{4x^{2}+4y^{2}+1}}.}

Passo 3

Para a área de S usamos
\text{Area}(S) =\iint_{D}\bigl\|\mathbf r_{r}\times\mathbf r_{\theta}\bigr\|\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\sqrt3} r\sqrt{4r^{2}+1}\,dr\,d\theta.
Fazendo u=4r^{2}+1, du=8r\,dr, obtemos
\int_{0}^{\sqrt3}r\sqrt{4r^{2}+1}\,dr =\frac{1}{8}\int_{1}^{13}u^{1/2}du =\frac{1}{12}\bigl[(4r^{2}+1)^{3/2}\bigr]_{0}^{\sqrt3} =\frac{1}{12}(13^{3/2}-1).
Multiplicando por 2\pi,
\boxed{\text{Area}(S) =\frac{\pi}{6}\bigl(13\sqrt{13}-1\bigr).}

Passo 4

O fluxo de F é
\iint_{S}F\cdot \mathbf n\,dS =\iint_{D}F\bigl(\mathbf r(r,\theta)\bigr)\!\cdot\! \bigl(\mathbf r_{r}\times\mathbf r_{\theta}\bigr)\,dr\,d\theta.
Em polares, F=(r\cos\theta,r\sin\theta,-2r^{2}) e
F\cdot(\mathbf r_{r}\times\mathbf r_{\theta}) =(r\cos\theta)(-2r^{2}\cos\theta) +(r\sin\theta)(-2r^{2}\sin\theta) +(-2r^{2})(r) =-4r^{3}.
Logo
\iint_{D}(-4r^{3})\,dr\,d\theta =-4\int_{0}^{2\pi}\!d\theta\int_{0}^{\sqrt3}r^{3}dr =-4\cdot2\pi\cdot\frac{(\sqrt3)^{4}}{4} =-18\pi.
\boxed{\text{Fluxo}= -18\pi.}

Passo 5

A integral de f sobre S é
\iint_{S}f\,dS =\iint_{D}f\bigl(\mathbf r(r,\theta)\bigr)\, \bigl\|\mathbf r_{r}\times\mathbf r_{\theta}\bigr\|\,dr\,d\theta.
Como f=\frac1{\sqrt{4r^{2}+1}} e \|\mathbf r_{r}\times\mathbf r_{\theta}\|=r\sqrt{4r^{2}+1}, o integrando é
\frac{r\sqrt{4r^{2}+1}}{\sqrt{4r^{2}+1}}=r.
Então
\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\sqrt3}r\,dr\,d\theta =2\pi\cdot\frac{(\sqrt3)^{2}}{2} =3\pi.
\boxed{\iint_{S}f\,dS = 3\pi.}

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf n(x,y,z)=\frac{(-2x,-2y,1)}{\sqrt{4x^{2}+4y^{2}+1}}.
(b) \displaystyle \text{Area}(S)=\frac{\pi}{6}\bigl(13\sqrt{13}-1\bigr).
(c) \displaystyle \text{Fluxo}=-18\pi.
(d) \displaystyle \iint_{S}f\,dS = 3\pi.

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