Seja S a superfície dada por z=x^{2}+y^{2}, x^{2}+y^{2} \leq 3.
(a) Defina uma orientação para S , isto é, um campo normal unitário definido em S .
(b) Calcule a área de S .
(c) Calcule o fluxo do campo F(x, y, z)=(x, y,-2 z) através de S .
(d) Calcule a integral de superficie de f(x, y, z)=\frac{1}{\sqrt{4 x^{2}+4 y^{2}+1}} sobre S .
Passo 1
O enunciado define a superfície S por
z = x^{2}+y^{2},\quad x^{2}+y^{2}\le3
e pede:
(a) um campo normal unitário em S;
(b) a área de S;
(c) o fluxo de F(x,y,z)=(x,y,-2z) através de S;
(d) a integral de superfície de f(x,y,z)=\frac{1}{\sqrt{4x^{2}+4y^{2}+1}} sobre S.
Vamos parametrizar S em coordenadas polares e usar as fórmulas de superfície paramétrica, cálculo de \bigl|\mathbf r_{r}\times\mathbf r_{\theta}\bigr|, produto escalar para fluxo e o fator de área para integrais de função sobre S.