Calcule os limites:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. Estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, e para resolver isso, vamos precisar entender como os numeradores e denominadores se comportam conforme
e
se aproximam de zero.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observamos que no numerador temos termos envolvendo
e
:
Podemos fatorar
dos termos que contêm
:
Mas para simplificar ainda mais, vamos observar que quando
e
se aproximam de zero, os termos de maior ordem (como
e
) se tornam muito pequenos em comparação com os termos de menor ordem (como
e
). Portanto, podemos aproximar o numerador por
.
Passo 3
Agora, nossa expressão fica:
Podemos separar a raiz do numerador e do denominador:
Simplificando
(já que
é positivo):
Passo 4
Para analisar o limite quando
e
se aproximam de zero, vamos considerar que
e
se aproximam de zero pela mesma taxa. Vamos assumir que
. Isso significa que estamos nos aproximando de
ao longo da linha
.
Substituindo
na expressão:
Passo 5
Agora, calculamos o limite de
quando
se aproxima de zero:
Resposta
O limite é igual a
.