Calcule os limites:
lim (x, y) (0^+, 0^+) raizx y^2+y^3-x y^3x^2+y^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite da função
raizx y^2 + y^3 - x y^3x^2 + y^2
quando se aproxima de . Estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, e para resolver isso, vamos precisar entender como os numeradores e denominadores se comportam conforme e se aproximam de zero.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observamos que no numerador temos termos envolvendo x y^2 + y^3 - x y^3 e y^2(x + y) - x y^3 :
Podemos fatorar dos termos que contêm :
Mas para simplificar ainda mais, vamos observar que quando e se aproximam de zero, os termos de maior ordem (como e ) se tornam muito pequenos em comparação com os termos de menor ordem (como e ). Portanto, podemos aproximar o numerador por .

Passo 3

Agora, nossa expressão fica:
raizy^2(x + y)x^2 + y^2
Podemos separar a raiz do numerador e do denominador:
raizy^2(x + y)raizx^2 + y^2
Simplificando y raizx + yraizx^2 + y^2 (já que é positivo):

Passo 4

Para analisar o limite quando y raizy + yraizy^2 + y^2 = y raiz2yraiz2y^2 = y cdot raiz2 cdot raizyraiz2 cdot y = y cdot raizyy = raizy e se aproximam de zero, vamos considerar que e se aproximam de zero pela mesma taxa. Vamos assumir que . Isso significa que estamos nos aproximando de ao longo da linha .
Substituindo na expressão:

Passo 5

Agora, calculamos o limite de limy to 0^+ raizy = 0 quando se aproxima de zero:

Resposta

O limite é igual a .

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