Calcule os limites
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais informações temos.
- Pedido: calcular
. - Informação dada: a expressão é a função racional
, composta por dois polinômios no numerador e no denominador. - Informação importante ao analisar limites: ao substituir
diretamente na expressão obtemos
que é uma forma indeterminada. Isso nos diz que não podemos concluir o limite apenas por substituição direta — é necessário manipular algebricamente a expressão ou usar outro método.
Passo 2
Explicação didática do que significa a forma indeterminada
e qual método básico usar.
- Quando a substituição direta dá
, isso significa que tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero. O limite pode existir (como um número finito) ou não existir; portanto precisamos simplificar a expressão para ver o comportamento quando se aproxima de . - Método mais simples e comum aqui: fatoração e cancelamento de fatores comuns. A ideia é escrever numerador e denominador como produtos de fatores, cancelar o fator que faz zero em
e então avaliar a expressão simplificada em . - Justificativa do cancelamento: limites dependem de valores de
próximos, mas diferentes de . Se numa vizinhança de (exceto em exatamente) as duas expressões são iguais, então têm o mesmo limite. Por isso é permitido simplificar cancelando fatores não nulos quando analisamos limites.
Passo 3
Fatorar numerador e denominador passo a passo (mostrando como chegar na fatoração).
- Numerador:
. Reconhece-se a diferença de quadrados: . Aqui e . Então
- Denominador:
. Fator comum :
Passo 4
Escrever a expressão com os fatores e cancelar o fator comum, com justificativa.
- Substituindo as fatorações na fração:
- Para
podemos cancelar o fator (pois aí ), obtendo a expressão equivalente para próximos de (mas não igual a ):
- Justificativa final: como o limite
considera aproximando-se de mas não necessariamente igual a , podemos estudar o limite da função simplificada . Se essa função tiver limite quando , esse será o mesmo limite da expressão original.
Passo 5
Avaliar o limite da expressão simplificada por substituição.
- A função simplificada é
. Agora podemos substituir diretamente porque o denominador em não é zero:
Passo 6
Interpretação final e observações pedagógicas (o que acontece na função original em
).
- Conclusão: o limite existe e vale
. - Observação: a função original
não está definida em (denominador zero), mas o limite quando se aproxima de é . Isso é um caso típico de descontinuidade removível: se se definisse a função com valor em , ela ficaria contínua naquele ponto. - Verificação alternativa rápida (opcional): aplicando a regra de L’Hôpital (já que temos forma
), derivando numerador e denominador:
então
confirmando o resultado (mas a fatoração é mais simples e elementar).
Resposta
2