Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}-3 x}

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais informações temos.
  • Pedido: calcular \displaystyle \lim_{x\to 3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}-3x}.
  • Informação dada: a expressão é a função racional \dfrac{x^{2}-9}{x^{2}-3x}, composta por dois polinômios no numerador e no denominador.
  • Informação importante ao analisar limites: ao substituir x=3 diretamente na expressão obtemos
\frac{3^{2}-9}{3^{2}-3\cdot 3}=\frac{9-9}{9-9}=\frac{0}{0},
que é uma forma indeterminada. Isso nos diz que não podemos concluir o limite apenas por substituição direta — é necessário manipular algebricamente a expressão ou usar outro método.

Passo 2

Explicação didática do que significa a forma indeterminada \dfrac{0}{0} e qual método básico usar.
  • Quando a substituição direta dá \dfrac{0}{0}, isso significa que tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero. O limite pode existir (como um número finito) ou não existir; portanto precisamos simplificar a expressão para ver o comportamento quando x se aproxima de 3.
  • Método mais simples e comum aqui: fatoração e cancelamento de fatores comuns. A ideia é escrever numerador e denominador como produtos de fatores, cancelar o fator que faz zero em x=3 e então avaliar a expressão simplificada em x=3.
  • Justificativa do cancelamento: limites dependem de valores de x próximos, mas diferentes de 3. Se numa vizinhança de 3 (exceto em x=3 exatamente) as duas expressões são iguais, então têm o mesmo limite. Por isso é permitido simplificar cancelando fatores não nulos quando analisamos limites.

Passo 3

Fatorar numerador e denominador passo a passo (mostrando como chegar na fatoração).
  • Numerador: \;x^{2}-9. Reconhece-se a diferença de quadrados: a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b). Aqui a=x e b=3. Então
x^{2}-9=(x-3)(x+3).
  • Denominador: \;x^{2}-3x. Fator comum x:
x^{2}-3x=x(x-3).

Passo 4

Escrever a expressão com os fatores e cancelar o fator comum, com justificativa.
  • Substituindo as fatorações na fração:
\frac{x^{2}-9}{x^{2}-3x}=\frac{(x-3)(x+3)}{x(x-3)}.
  • Para x\neq 3 podemos cancelar o fator (x-3) (pois aí (x-3)\neq 0), obtendo a expressão equivalente para x próximos de 3 (mas não igual a 3):
\frac{(x-3)(x+3)}{x(x-3)}=\frac{x+3}{x}\qquad\text{para }x\neq 3.
  • Justificativa final: como o limite \displaystyle\lim_{x\to 3} considera x aproximando-se de 3 mas não necessariamente igual a 3, podemos estudar o limite da função simplificada \dfrac{x+3}{x}. Se essa função tiver limite quando x\to 3, esse será o mesmo limite da expressão original.

Passo 5

Avaliar o limite da expressão simplificada por substituição.
  • A função simplificada é \dfrac{x+3}{x}. Agora podemos substituir x=3 diretamente porque o denominador x em x=3 não é zero:
\lim_{x\to 3}\frac{x+3}{x}=\frac{3+3}{3}=\frac{6}{3}=2.

Passo 6

Interpretação final e observações pedagógicas (o que acontece na função original em x=3).
  • Conclusão: o limite existe e vale 2.
  • Observação: a função original \dfrac{x^{2}-9}{x^{2}-3x} não está definida em x=3 (denominador zero), mas o limite quando x se aproxima de 3 é 2. Isso é um caso típico de descontinuidade removível: se se definisse a função com valor 2 em x=3, ela ficaria contínua naquele ponto.
  • Verificação alternativa rápida (opcional): aplicando a regra de L’Hôpital (já que temos forma 0/0), derivando numerador e denominador:
\frac{d}{dx}(x^{2}-9)=2x,\qquad \frac{d}{dx}(x^{2}-3x)=2x-3,
então
\lim_{x\to 3}\frac{x^{2}-9}{x^{2}-3x}=\lim_{x\to 3}\frac{2x}{2x-3}=\frac{6}{6-3}=\frac{6}{3}=2,
confirmando o resultado (mas a fatoração é mais simples e elementar).

Resposta

2

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