Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-1}{x-1}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado o quociente \dfrac{x^{3}-1}{x-1}.
  • Pede o valor do limite \displaystyle \lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{x^{3}-1}{x-1}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão do numerador é \,x^{3}-1.
  • O denominador é \,x-1.
  • A aproximação é para x tendendo a 1.

Passo 2

Testar substituição direta para ver se o limite é imediato:
  • Substituindo x=1 na expressão obtemos \dfrac{1^{3}-1}{1-1}=\dfrac{0}{0}.
  • A forma \dfrac{0}{0} é uma indeterminação, ou seja, não dá o valor do limite diretamente. Quando aparece indeterminação, é preciso manipular a expressão (algebricamente ou por outra técnica) para remover a indeterminação antes de avaliar o limite.
Explicação curta do que é indeterminação:
  • Dizer que uma expressão é indeterminada significa apenas que a substituição direta dá uma forma que não permite decidir o valor do limite; precisamos simplificar ou reescrever a expressão.

Passo 3

Usar fatoração para eliminar a indeterminação:
  • Apresentar a identidade fatoração de diferença de cubos:
a^{3}-b^{3}=(a-b)\,(a^{2}+ab+b^{2}),
onde a e b são números ou expressões quaisquer.
  • Aplicar a identidade com a=x e b=1:
x^{3}-1=(x-1)\,(x^{2}+x+1).
Explicação do que significam os termos nessa identidade:
  • Aqui (x-1) é o fator que causa a indeterminação no denominador.
  • O outro fator (x^{2}+x+1) é um polinômio que não se anula em x=1 (veremos isso no próximo passo).

Passo 4

Simplificar a fração para x\neq1:
  • Substituindo a fatoração na fração:
\frac{x^{3}-1}{x-1}=\frac{(x-1)\,(x^{2}+x+1)}{x-1}.
  • Para x\neq1 pode-se cancelar (x-1), obtendo
\frac{x^{3}-1}{x-1}=x^{2}+x+1\qquad (x\neq1).
Conceito importante: descontinuidade removível
  • A função original tem uma indeterminação em x=1, mas a simplificação mostra que há uma função polinomial x^{2}+x+1 que coincide com a expressão original para todo x\neq1. O limite quando x\to1 é o mesmo que o valor que a polinômio assume em 1, pois polinômios são contínuos.

Passo 5

Avaliar o limite usando a expressão simplificada:
  • Como x^{2}+x+1 é contínuo, tem-se
\lim_{x\to1}\frac{x^{3}-1}{x-1}=\lim_{x\to1}\bigl(x^{2}+x+1\bigr)=1^{2}+1+1.
  • Calcular:
1^{2}+1+1=1+1+1=3.

Passo 6

Método alternativo (opcional) — regra de L’Hôpital, para reforçar a ideia:
  • A regra de L’Hôpital diz que, se uma função dá forma indeterminada \dfrac{0}{0} e as funções do numerador e denominador são diferenciáveis perto do ponto, então
\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}
desde que o limite do lado direito exista.
  • Aplicando com f(x)=x^{3}-1 e g(x)=x-1:
f'(x)=3x^{2},\qquad g'(x)=1,
logo
\lim_{x\to1}\frac{x^{3}-1}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{3x^{2}}{1}=3\cdot1^{2}=3.
  • Resultado coincide com a fatoração; isso confirma que o valor do limite é \,3.

Passo 7

Exemplo extra para fixar (rápido):
  • Considere \displaystyle \lim_{x\to2}\frac{x^{3}-8}{x-2}. Pelo mesmo raciocínio:
x^{3}-8=(x-2)(x^{2}+2x+4),
logo o limite é 2^{2}+2\cdot2+4=4+4+4=12.
  • Alternativamente, usar L’Hôpital dá 3x^{2} em x=2 que vale 3\cdot4=12. Mesmo procedimento, mesma ideia.
Força aí — com a fatoração na mão essa classe de limites vira rotina. Você consegue!

Resposta

3

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