Calcule os limites
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado o quociente
. - Pede o valor do limite
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A expressão do numerador é
. - O denominador é
. - A aproximação é para
tendendo a .
Passo 2
Testar substituição direta para ver se o limite é imediato:
- Substituindo
na expressão obtemos . - A forma
é uma indeterminação, ou seja, não dá o valor do limite diretamente. Quando aparece indeterminação, é preciso manipular a expressão (algebricamente ou por outra técnica) para remover a indeterminação antes de avaliar o limite.
Explicação curta do que é indeterminação:
- Dizer que uma expressão é indeterminada significa apenas que a substituição direta dá uma forma que não permite decidir o valor do limite; precisamos simplificar ou reescrever a expressão.
Passo 3
Usar fatoração para eliminar a indeterminação:
- Apresentar a identidade fatoração de diferença de cubos:
onde
e
são números ou expressões quaisquer.
- Aplicar a identidade com
e :
Explicação do que significam os termos nessa identidade:
- Aqui
é o fator que causa a indeterminação no denominador. - O outro fator
é um polinômio que não se anula em (veremos isso no próximo passo).
Passo 4
Simplificar a fração para
:
- Substituindo a fatoração na fração:
- Para
pode-se cancelar , obtendo
Conceito importante: descontinuidade removível
- A função original tem uma indeterminação em
, mas a simplificação mostra que há uma função polinomial que coincide com a expressão original para todo . O limite quando é o mesmo que o valor que a polinômio assume em , pois polinômios são contínuos.
Passo 5
Avaliar o limite usando a expressão simplificada:
- Como
é contínuo, tem-se
- Calcular:
Passo 6
Método alternativo (opcional) — regra de L’Hôpital, para reforçar a ideia:
- A regra de L’Hôpital diz que, se uma função dá forma indeterminada
e as funções do numerador e denominador são diferenciáveis perto do ponto, então
desde que o limite do lado direito exista.
- Aplicando com
e :
logo
- Resultado coincide com a fatoração; isso confirma que o valor do limite é
.
Passo 7
Exemplo extra para fixar (rápido):
- Considere
. Pelo mesmo raciocínio:
logo o limite é
.
- Alternativamente, usar L’Hôpital dá
em que vale . Mesmo procedimento, mesma ideia.
Força aí — com a fatoração na mão essa classe de limites vira rotina. Você consegue!