Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 5} \frac{x^{2}-2 x-15}{2 x-10}

Passo 1

O enunciado nos pede calcular \displaystyle \lim_{x\to5}\frac{x^2 - 2x - 15}{2x - 10}.
Trata-se de um limite de função racional que, ao substituir x=5, gera uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}. Para resolver, vamos fatorar e simplificar a expressão.

Passo 2

Verificando a forma indeterminada:
\text{numerador em }x=5: 5^2 - 2\cdot5 - 15 = 25 - 10 - 15 = 0, \quad \text{denominador em }x=5: 2\cdot5 - 10 = 10 - 10 = 0.
Fatoramos numerador e denominador:
x^2 - 2x - 15 = (x-5)(x+3), \quad 2x - 10 = 2\,(x-5).
Como x\neq5 no limite, cancelamos o fator comum (x-5) e obtemos a forma simplificada \displaystyle \frac{x+3}{2}.

Passo 3

Agora o limite deixa de ser indeterminado e podemos usar substituição direta:
\lim_{x\to5}\frac{x+3}{2} = \frac{5+3}{2} = 4.

Resposta

4

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