Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{3 x^{2}-2 x-5}{x^{2}-1}

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular
\lim_{x\to -1}\frac{3x^2-2x-5}{x^2-1}.
O conteúdo aqui é limite de função racional que se apresenta na forma indeterminada 0/0. Para resolver, usaremos fatoração e simplificação de fatores comuns.

Passo 2

Tentando substituição direta em \frac{3x^2-2x-5}{x^2-1} quando x=-1:
o numerador fica
3(-1)^2 - 2(-1) - 5 = 3 + 2 - 5 = 0,
e o denominador fica
(-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0.
Logo temos uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}, indicando que precisamos simplificar.

Passo 3

Fatoramos o numerador e o denominador:
3x^2 - 2x - 5 = (x+1)(3x - 5),
x^2 - 1 = (x+1)(x - 1).

Passo 4

Para x \neq -1 podemos cancelar o fator comum x+1:
\frac{3x^2-2x-5}{x^2-1} = \frac{(x+1)(3x-5)}{(x+1)(x-1)} = \frac{3x-5}{x-1}.

Passo 5

Agora calculamos o limite da forma simplificada:
\lim_{x\to -1}\frac{3x-5}{x-1} = \frac{3(-1)-5}{(-1)-1} = \frac{-3 - 5}{-2} = \frac{-8}{-2} = 4.

Resposta

4

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