Considere a função definida por f(x)=\left\{\begin{array}{c}x^{2}-1 \text { se } x<1 \\\\ 2 \text { se } x=1 \\\ x-2 \text { se } x>1\end{array}\right..
A) Determine os valores de f(-5), f(1) e f(6).
B) Esboce o gráfico de \mathrm{f}(\mathrm{x}).
C) Determine os valores dos limites \lim _{x \rightarrow-1} f(x); \lim _{x \rightarrow-5} f(x) ; \lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x) ; \lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x) ; \lim _{x \rightarrow 1} f(x).
Precisamos (A) avaliar a função em pontos dados, (B) esboçar o gráfico identificando ramos e pontos isolados e (C) calcular limites em diversos pontos, incluindo laterais em x=1.
Passo 2
Para (A) basta usar a definição de f em cada ponto:
– Como -5<1, vale a fórmula x^{2}-1, logo
f(-5)=(-5)^{2}-1=25-1=24.
– Em x=1 está explícito que f(1)=2.
– Como 6>1, usamos x-2, dando
f(6)=6-2=4.
Passo 3
Para (B) o gráfico tem três partes:
– Para x<1, é a parábola y=x^{2}-1 com o ponto em x=1 excluído (círculo aberto em (1,0)).
– Em x=1, há um ponto isolado em (1,2).
– Para x>1, é a reta y=x-2 também com o ponto em x=1 excluído (círculo aberto em (1,-1)).
Assim o esboço mostra a parábola até x=1 sem incluir (1,0), o ponto fechado (1,2) e a reta começando após x=1 sem incluir (1,-1).
Passo 4
Para (C) nos pontos -1 e -5 ambos ficam em x<1, no ramo da parábola, que é contínua:
Ainda em (C), calculamos as laterais em x=1:
– Pela esquerda, x\to1^{-} cai no ramo x^{2}-1, logo
\lim_{x\to1^{-}}f(x)=1^{2}-1=0.
– Pela direita, x\to1^{+} usa x-2, dando
\lim_{x\to1^{+}}f(x)=1-2=-1.
Passo 6
Como as laterais em x=1 são diferentes 0\neq -1, o limite \lim_{x\to1}f(x) não existe.
Resposta
(A) f(-5)=24, f(1)=2, f(6)=4.
(B) Gráfico: parábola y=x^{2}-1 para x<1 (círculo aberto em (1,0)), ponto isolado (1,2) e reta y=x-2 para x>1 (círculo aberto em (1,-1)).
(C) \lim_{x\to-1}f(x)=0, \lim_{x\to-5}f(x)=24, \lim_{x\to1^{-}}f(x)=0, \lim_{x\to1^{+}}f(x)=-1, \lim_{x\to1}f(x) não existe.