Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{3}-x^{2}-6 x}{x^{2}-3 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to3}\frac{x^{3}-x^{2}-6x}{x^{2}-3x}.
O conteúdo principal aqui é cálculo de limite de função racional que apresenta indeterminação do tipo 0/0. Vamos usar fatoração e cancelamento de fatores comuns para remover a indeterminação.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada fazendo a substituição direta x=3:
\text{numerador} = 3^{3}-3^{2}-6\cdot3 = 27 - 9 - 18 = 0,
\text{denominador} = 3^{2}-3\cdot3 = 9 - 9 = 0.
Logo temos 0/0, é preciso fatorar.

Passo 3

Fatoramos numerador e denominador em blocos separados:
x^{3}-x^{2}-6x = x\,(x^{2}-x-6) = x\,(x-3)\,(x+2),
x^{2}-3x = x\,(x-3).

Passo 4

Cancelamos o fator comum x\,(x-3) (válido para x\neq0,3) e obtemos a forma simplificada:
\frac{x^{3}-x^{2}-6x}{x^{2}-3x} = \frac{x\,(x-3)\,(x+2)}{x\,(x-3)} = x+2.

Passo 5

Agora calculamos o limite da expressão simplificada:
\lim_{x\to3}(x+2) = 3+2 = 5.

Resposta

5

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