Calcule os limites
Passo 1
O que o problema pede e o que temos: calcular
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é o polinômio
. - A pergunta é o valor do limite quando
tende para .
Observação inicial (importante): ao tentar substituir
diretamente obtemos
ou seja temos a forma indeterminada
. Isso indica que devemos manipular a expressão (fatoração, l’Hôpital, etc.) antes de avaliar o limite.
Passo 2
Ideia escolhida para resolver: usar fatoração por
. Explicação didática do porquê:
- Teorema do resto/fator: se um polinômio
satisfaz , então é fator de . Aqui e ambos os polinômios anulam em , logo divide tanto quanto . - Método prático para obter o quociente é a divisão sintética (ou divisão de polinômios). Vou aplicar isso passo a passo para numerador e denominador, para cancelar o fator
e eliminar a indeterminação.
Passo 3
Dividindo o numerador
por
usando divisão sintética:
- Coeficientes de
: . - Divisor corresponde a
(valor na sintética).
Procedimento sintético (mostrar cada operação):
- Trago o
para baixo. - Multiplico
e somo ao próximo coeficiente: . - Multiplico
e somo: . - Multiplico
e somo: (resto).
Logo o quociente é o polinômio de grau 2 com coeficientes
, isto é
Passo 4
Agora a divisão do denominador
por
também por divisão sintética:
- Coeficientes de
: . - Valor para sintética:
.
Procedimento sintético:
- Trago o
para baixo. - Multiplico
e somo: . - Multiplico
e somo: . - Multiplico
e somo: (resto).
Portanto
Passo 5
Com as fatorações obtidas, a fração simplifica cancelando o fator comum
(válido para
):
Então o limite original é igual ao limite desta função simplificada quando
.
Passo 6
Agora usamos continuidade de polinômios/razões de polinômios: se o denominador no ponto não é zero, podemos simplesmente substituir
na expressão simplificada para obter o limite. Verifiquemos:
- Avaliando o numerador simplificado em
:
- Avaliando o denominador simplificado em
:
O denominador dá
, portanto a substituição é válida.
Logo
Passo 7
Comentário final curto e encorajador: alternativa possível seria aplicar a regra de l’Hôpital (derivar numerador e denominador até eliminar a indeterminação), que também daria o mesmo resultado; porém a fatoração é mais direta e evita derivadas aqui. Bom trabalho — já era!