Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 x^{3}+x^{2}-4 x+1}{x^{3}-3 x^{2}+5 x-3}

Passo 1

O que o problema pede e o que temos: calcular \displaystyle \lim_{x\to1}\frac{2x^{3}+x^{2}-4x+1}{x^{3}-3x^{2}+5x-3}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O numerador é o polinômio N(x)=2x^{3}+x^{2}-4x+1.
  • O denominador é o polinômio D(x)=x^{3}-3x^{2}+5x-3.
  • A pergunta é o valor do limite quando x tende para 1.
Observação inicial (importante): ao tentar substituir x=1 diretamente obtemos
N(1)=2+1-4+1=0, \qquad D(1)=1-3+5-3=0,
ou seja temos a forma indeterminada 0/0. Isso indica que devemos manipular a expressão (fatoração, l’Hôpital, etc.) antes de avaliar o limite.

Passo 2

Ideia escolhida para resolver: usar fatoração por (x-1). Explicação didática do porquê:
  • Teorema do resto/fator: se um polinômio P(x) satisfaz P(a)=0, então (x-a) é fator de P(x). Aqui a=1 e ambos os polinômios anulam em 1, logo (x-1) divide tanto N(x) quanto D(x).
  • Método prático para obter o quociente é a divisão sintética (ou divisão de polinômios). Vou aplicar isso passo a passo para numerador e denominador, para cancelar o fator (x-1) e eliminar a indeterminação.

Passo 3

Dividindo o numerador N(x)=2x^{3}+x^{2}-4x+1 por (x-1) usando divisão sintética:
  • Coeficientes de N: 2,\;1,\;-4,\;1.
  • Divisor corresponde a x-1 (valor 1 na sintética).
Procedimento sintético (mostrar cada operação):
  • Trago o 2 para baixo.
  • Multiplico 1\cdot 2=2 e somo ao próximo coeficiente: 1+2=3.
  • Multiplico 1\cdot 3=3 e somo: -4+3=-1.
  • Multiplico 1\cdot(-1)=-1 e somo: 1+(-1)=0 (resto).
Logo o quociente é o polinômio de grau 2 com coeficientes 2,\;3,\;-1, isto é
N(x)=(x-1)\bigl(2x^{2}+3x-1\bigr).

Passo 4

Agora a divisão do denominador D(x)=x^{3}-3x^{2}+5x-3 por (x-1) também por divisão sintética:
  • Coeficientes de D: 1,\;-3,\;5,\;-3.
  • Valor para sintética: 1.
Procedimento sintético:
  • Trago o 1 para baixo.
  • Multiplico 1\cdot1=1 e somo: -3+1=-2.
  • Multiplico 1\cdot(-2)=-2 e somo: 5+(-2)=3.
  • Multiplico 1\cdot3=3 e somo: -3+3=0 (resto).
Portanto
D(x)=(x-1)\bigl(x^{2}-2x+3\bigr).

Passo 5

Com as fatorações obtidas, a fração simplifica cancelando o fator comum (x-1) (válido para x\neq1):
\frac{N(x)}{D(x)}=\frac{(x-1)\bigl(2x^{2}+3x-1\bigr)}{(x-1)\bigl(x^{2}-2x+3\bigr)}=\frac{2x^{2}+3x-1}{x^{2}-2x+3},\qquad x\neq1.
Então o limite original é igual ao limite desta função simplificada quando x\to1.

Passo 6

Agora usamos continuidade de polinômios/razões de polinômios: se o denominador no ponto não é zero, podemos simplesmente substituir x=1 na expressão simplificada para obter o limite. Verifiquemos:
  • Avaliando o numerador simplificado em x=1:
2(1)^{2}+3(1)-1=2+3-1=4.
  • Avaliando o denominador simplificado em x=1:
(1)^{2}-2(1)+3=1-2+3=2.
O denominador dá 2\neq0, portanto a substituição é válida.
Logo
\lim_{x\to1}\frac{2x^{2}+3x-1}{x^{2}-2x+3}=\frac{4}{2}=2.

Passo 7

Comentário final curto e encorajador: alternativa possível seria aplicar a regra de l’Hôpital (derivar numerador e denominador até eliminar a indeterminação), que também daria o mesmo resultado; porém a fatoração é mais direta e evita derivadas aqui. Bom trabalho — já era!

Resposta

2

Exercícios relacionados