Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow 5^{-}} \frac{|2 x-10|}{2 x-10}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 5^{-}} \frac{|2x-10|}{2x-10}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão envolvida é \dfrac{|2x-10|}{2x-10}.
  • O limite é unidirecional, vindo pela esquerda de x=5 (isto é, x\to5^{-}).
  • Observe que 2x-10=0 quando x=5, então a função tem denominador zero em x=5 (não estamos avaliando o valor em x=5, apenas o limite ao nos aproximarmos por valores menores que 5).

Passo 2

Lembrete sobre valor absoluto (para entender como tratar |2x-10|\)): para qualquer número real \(t\), \[|t|=\begin{cases} t & \text{se } t\ge 0,\\[4pt] -t & \text{se } t<0. \end{cases}
Aqui vamos aplicar isso com t=2x-10\]. A ideia é determinar o sinal de \(2x-10 quando x se aproxima de 5 pela esquerda.]

Passo 3

Determine o sinal de 2x-10 para x<5. Factorizando:
2x-10=2(x-5).
Se x<5 então x-5<0, e multiplicando por 2>0 temos 2(x-5)<0. Logo, para todos os x suficientemente próximos de 5 com x<5, vale
2x-10<0.

Passo 4

Usando a definição do valor absoluto para o caso 2x-10<0, obtemos
|2x-10|=-(2x-10)\qquad\text{para }x<5.
Substituindo isso na expressão do enunciado (considerando x\neq5 para evitar divisão por zero):
\frac{|2x-10|}{2x-10}=\frac{-(2x-10)}{2x-10}\qquad\text{para }x<5.

Passo 5

Simplifique a fração para x\neq5:
\frac{-(2x-10)}{2x-10}=-1.
Portanto, para todos os x próximos de 5 pela esquerda (mas x\neq5), a função tem valor constante igual a -1. Assim o limite unidirecional pela esquerda é o próprio valor dessa constante.

Passo 6

Concluímos que
\lim_{x \rightarrow 5^{-}} \frac{|2x-10|}{2x-10}=-1.
Força aí nos estudos — esse tipo de limite com valor absoluto é quase sempre resolvido analisando o sinal da expressão dentro do valor absoluto e usando a definição peça a peça.

Resposta

-1

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