Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1-x^{2}}{\operatorname{sen} \pi x}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede calcular o limite
\lim_{x \to 1} \frac{1-x^{2}}{\operatorname{sen} \pi x}.
  • Observação imediata: quando x \to 1 temos 1-x^{2}\to 0 e \operatorname{sen} \pi x \to \operatorname{sen} \pi = 0. Portanto a expressão tem a forma indeterminada 0/0, o que significa que precisamos manipular a expressão para obter o limite.

Passo 2

Fatorar o numerador para simplificar:
1-x^{2}=(1-x)(1+x).
Explico rápido: é a fatoração clássica da diferença de quadrados, que vale para quaisquer números a e b como a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b). Aqui a=1 e b=x.

Passo 3

Reescrever o seno usando um deslocamento para aproveitar o fato de que x\to1. Use a identidade de soma de ângulos:
\operatorname{sen}(\alpha+\beta)=\operatorname{sen}\alpha\cos\beta+\cos\alpha\operatorname{sen}\beta.
Escolha \alpha=\pi(x-1) e \beta=\pi. Então
\operatorname{sen}(\pi x)=\operatorname{sen}(\pi(x-1)+\pi)=\operatorname{sen}(\pi(x-1))\cos\pi+\cos(\pi(x-1))\operatorname{sen}\pi.
Como \cos\pi=-1 e \operatorname{sen}\pi=0, resulta
\operatorname{sen}(\pi x)=-\operatorname{sen}(\pi(x-1)).

Passo 4

Substituir as expressões obtidas em cima na fração original:
\frac{1-x^{2}}{\operatorname{sen} \pi x}=\frac{(1-x)(1+x)}{-\operatorname{sen}(\pi(x-1))}.
Observe que 1-x=-(x-1), então o numerador é -(x-1)(1+x). Assim
\frac{(1-x)(1+x)}{-\operatorname{sen}(\pi(x-1))}=\frac{-(x-1)(1+x)}{-\operatorname{sen}(\pi(x-1))}=\frac{(x-1)(1+x)}{\operatorname{sen}(\pi(x-1))}.

Passo 5

Fazer a substituição t=x-1. Quando x\to1 temos t\to 0. A expressão fica
\frac{(x-1)(1+x)}{\operatorname{sen}(\pi(x-1))}=\frac{t(1+(t+1))}{\operatorname{sen}(\pi t)}=\frac{t(2+t)}{\operatorname{sen}(\pi t)}.
Portanto o limite procurado é
\lim_{t\to 0}\frac{t(2+t)}{\operatorname{sen}(\pi t)}.

Passo 6

Usar o limite trigonométrico fundamental. Sabemos que
\lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{sen} u}{u}=1.
Coloque u=\pi t. Então
\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen}(\pi t)}{\pi t}=1,
o que implica
\lim_{t\to 0}\frac{t}{\operatorname{sen}(\pi t)}=\frac{1}{\pi},
pois \dfrac{t}{\operatorname{sen}(\pi t)}=\dfrac{1}{\pi}\cdot\dfrac{\pi t}{\operatorname{sen}(\pi t)} e \dfrac{\pi t}{\operatorname{sen}(\pi t)}\to 1.

Passo 7

Voltar à expressão com esse resultado:
\lim_{t\to 0}\frac{t(2+t)}{\operatorname{sen}(\pi t)}=\left(\lim_{t\to 0}(2+t)\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{t}{\operatorname{sen}(\pi t)}\right)=2\cdot\frac{1}{\pi}=\frac{2}{\pi}.
(Oferecendo uma razão rápida: o fator 2+t é contínuo em t=0 e tende a 2, e já mostramos que t/\operatorname{sen}(\pi t)\to 1/\pi.)

Resposta

\dfrac{2}{\pi}

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