Calcule os limites
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede calcular o limite
- Observação imediata: quando
temos e . Portanto a expressão tem a forma indeterminada , o que significa que precisamos manipular a expressão para obter o limite.
Passo 2
Fatorar o numerador para simplificar:
Explico rápido: é a fatoração clássica da diferença de quadrados, que vale para quaisquer números
e
como
. Aqui
e
.
Passo 3
Reescrever o seno usando um deslocamento para aproveitar o fato de que
. Use a identidade de soma de ângulos:
Escolha
e
. Então
Como
e
, resulta
Passo 4
Substituir as expressões obtidas em cima na fração original:
Observe que
, então o numerador é
. Assim
Passo 5
Fazer a substituição
. Quando
temos
. A expressão fica
Portanto o limite procurado é
Passo 6
Usar o limite trigonométrico fundamental. Sabemos que
Coloque
. Então
o que implica
pois
e
.
Passo 7
Voltar à expressão com esse resultado:
(Oferecendo uma razão rápida: o fator
é contínuo em
e tende a
, e já mostramos que
.)