Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{-x+4 x^{2}}{2 x^{3}-5}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{-x+4x^{2}}{2x^{3}-5}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{(a) a variável }x\text{ tende a }-\infty;á
\text{(b) o numerador é um polinômio de grau }2\text{ (pois }-x+4x^{2}\text{ tem maior termo }4x^{2}\text{);}éô
\text{\text{(c)} o denominador é um polinômio de grau }3\text{ (pois }2x^{3}-5\text{ tem maior termo }2x^{3}\text{).}éô

Passo 2

Vamos escolher um método: quando lidamos com quociente de polinômios e a variável tende a infinito (ou menos infinito), o comportamento é determinado pelos termos de maior grau. Regra prática (que vou explicar): se \deg(\text{numerador})<\deg(\text{denominador}), então o limite é 0. Vou demonstrar isso aqui dividindo numerador e denominador pela maior potência de x presente no denominador — procedimento que dá o resultado de forma rigorosa e é fácil de fazer na prova sem calculadora.

Passo 3

Divido numerador e denominador por x^{3} (a maior potência presente no denominador):
\frac{-x+4x^{2}}{2x^{3}-5} = \frac{\displaystyle\frac{-x}{x^{3}}+\frac{4x^{2}}{x^{3}}}{\displaystyle\frac{2x^{3}}{x^{3}}-\frac{5}{x^{3}}} = \frac{-\frac{1}{x^{2}}+\frac{4}{x}}{2-\frac{5}{x^{3}}}.

Passo 4

Agora analisamos cada parcela quando x\rightarrow -\infty:
-\frac{1}{x^{2}}\longrightarrow 0
porque x^{2}\rightarrow +\infty e o sinal fica negativo, mas a magnitude vai a zero.
\frac{4}{x}\longrightarrow 0
porque o denominador tende a infinito em módulo; para x\rightarrow -\infty essa fração tende a 0 pelo lado negativo, mas ainda assim tende a 0.
\frac{5}{x^{3}}\longrightarrow 0
porque x^{3}\rightarrow -\infty e a fração vai a zero.
Portanto o numerador da fração transformada tende a
-\frac{1}{x^{2}}+\frac{4}{x}\longrightarrow 0,
e o denominador tende a
2-\frac{5}{x^{3}}\longrightarrow 2.

Passo 5

Como o numerador tende a 0 e o denominador tende a 2\neq 0, o quociente tende a
\frac{0}{2}=0.
Observação intuitiva (útil na prova): isso confirma a regra simples mencionada antes — grau do numerador ( 2) menor que grau do denominador ( 3) implica limite 0.

Resposta

0

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