Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2}+1}}{2 x-4}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{4x^{2}+1}}{2x-4}.
Informações dadas: o numerador é \sqrt{4x^{2}+1} e o denominador é 2x-4. A variável x tende a +\infty (para grandes valores positivos de x).

Passo 2

Observação útil (fórmula que vamos usar): para qualquer x válido vale
\sqrt{4x^{2}+1}=\sqrt{x^{2}\!\left(4+\frac{1}{x^{2}}\right)}=\lvert x\rvert\sqrt{4+\frac{1}{x^{2}}}.
Explicando passo a passo: retiramos x^{2} de dentro da raiz porque \sqrt{a b}=\sqrt{a}\sqrt{b}. Ao tirar \sqrt{x^{2}} aparece \lvert x\rvert (porque \sqrt{x^{2}}=|x|). Isso é importante — a raiz quadrada sempre dá valor não negativo.

Passo 3

Como aqui x\to\infty estamos nos aproximando de valores positivos, portanto \lvert x\rvert = x para x suficientemente grande. Substituindo no quociente:
\frac{\sqrt{4x^{2}+1}}{2x-4}=\frac{x\sqrt{4+\frac{1}{x^{2}}}}{2x-4}.
Agora dividimos numerador e denominador por x (isso simplifica e é uma técnica padrão para limites quando há potências de x):
\frac{x\sqrt{4+\frac{1}{x^{2}}}}{2x-4}=\frac{\sqrt{4+\frac{1}{x^{2}}}}{2-\frac{4}{x}}.

Passo 4

Aplicamos as regras de limite (se \lim a_n=A e \lim b_n=B com B\neq0 então \lim a_n/b_n=A/B). Observe que quando x\to\infty temos \frac{1}{x^{2}}\to0 e \frac{4}{x}\to0. Como a função raiz é contínua, tem-se
\lim_{x\to\infty}\sqrt{4+\frac{1}{x^{2}}}=\sqrt{4+0}=2
e
\lim_{x\to\infty}\left(2-\frac{4}{x}\right)=2-0=2.
Portanto o limite do quociente é
\frac{2}{2}=1.

Passo 5

Comentário rápido para evitar erro: a etapa crítica foi usar \sqrt{x^{2}}=|x|. Se x fosse tendendo a -\infty precisaríamos tratar |x|=-x. Aqui, por x\to+\infty, usamos |x|=x corretamente. Técnica que usei (fatorar a maior potência de x e dividir) é a técnica padrão para esse tipo de limite e funciona bem em provas.

Resposta

1

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