Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas: o numerador é
e o denominador é
. A variável
tende a
(para grandes valores positivos de
).
Passo 2
Observação útil (fórmula que vamos usar): para qualquer
válido vale
Explicando passo a passo: retiramos
de dentro da raiz porque
. Ao tirar
aparece
(porque
). Isso é importante — a raiz quadrada sempre dá valor não negativo.
Passo 3
Como aqui
estamos nos aproximando de valores positivos, portanto
para
suficientemente grande. Substituindo no quociente:
Agora dividimos numerador e denominador por
(isso simplifica e é uma técnica padrão para limites quando há potências de
):
Passo 4
Aplicamos as regras de limite (se
e
com
então
). Observe que quando
temos
e
. Como a função raiz é contínua, tem-se
e
Portanto o limite do quociente é
Passo 5
Comentário rápido para evitar erro: a etapa crítica foi usar
. Se
fosse tendendo a
precisaríamos tratar
. Aqui, por
, usamos
corretamente. Técnica que usei (fatorar a maior potência de
e dividir) é a técnica padrão para esse tipo de limite e funciona bem em provas.
Resposta
1